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数学 高校生

112.1 2枚目:記述はこれでも問題ないですか? 3枚目:l+1が3の倍数であることを示さなくても良い理由は こう(赤ペンで書いているところ)だからですか??

480 00000 基本 例題112 互いに素に関する証明問題 (1) (1) nは自然数とする。 n+3は6の倍数であり,n+1は8の倍数であるとき、 n+9 は 24の倍数であることを証明せよ。 (2) 任意の自然数nに対して, 連続する2つの自然数nとn+1は互いに素であ 重要 114」 ることを証明せよ。 指針 (1) 次のことを利用して証明する。 α, b, kは整数とするとき p.476 基本事項 ②. 基本 111 a,bは互いに素で, akbの倍数であるならば, kは6の倍数である。 (2) +1は互いに素⇔nとn+1の最大公約数は 1 nとn+1の最大公約数をgとすると n=ga, n+1=gb (a,bは互いに素) この2つの式からnを消去してg=1 を導き出す。 ポイントは A,Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1 [CHART CAUCA a,bは ①1 ak=blならばんは6の倍数,はαの倍数 互いに素 ②2 aとbの最大公約数は 1 解答 (1) n+3=6k, n+1=81(k, lは自然数) と表される。 n+9=(n+3)+6=6k+6=6(k+1) n+9=(n+1)+8=8l+8=8(+1) よって 6(k+1)=8(+1) すなわち 3(k+1)=4(+1) ! 3と4は互いに素であるから, k+1は4の倍数である。 したがって, k+1=4m (mは自然数) と表される。 ゆえに n+9=6(k+1)=6.4m=24m したがって, n +9は24の倍数である。 (2) とすると n+1の最大公約数をg n=ga, n+1=gb (a,bは互いに素である自然数) と表される。 n=ga を n +1=gbに代入すると ga+1=gb すなわち g (b-α)=1小 g, a,b は自然数で, n <n+1 より 6-α>0であるから g=1 よって, nとn+1の最大公約数は1であるから, nとn+1 は互いに素である。 注意 (2) の内容に関連した内容を, 次ページの参考で扱っている。 練習 ②112 +12を35で割った余りを求めよ。 1+1は3の倍数 このとき, (2)を自然数とするとき 2n-1と2は である。 したがって, l+1=3m と表されるから、 n+9=8.3m=24m としてもよい。 (1) nは自然数とする。 n +5 は 7の倍数であり, n +7は5の倍数であるとき, ◄n=ga, n+1=gb 積が1となる自然数は1だ けである。 基 指針 C L a- と (2 a こ t 0 C

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