200
関数f(x)=x^2+kx2+kx+1 の2つの極値の和が2となるとき, kの値および2つの極
[+]
値を求めよ.
(DA
f(x)=x+kx2+kx +1 より f'(x)=3x²+2kx+k
関数 f(x) が2つの極値をもつから, f'(x) = 0 は異なる2 極大値と極小値をもつ.
つの実数解をもつ。
REGA
つまり,f'(x)=0 の判別式をDとすると, D>0 である.
D
したがって,
-=k-3k=k(k-3)>0
より, k<0,3<k ......①
f'(x)=0 つまり, 3x²+2kx+k=0 の2つの解をα,β
(a <β) とすると, 解と係数の関係より,
a+B==k, aß= k
3
2つの極値の和f(α)+f(B)は,
198 f(a) f(B) = (a +ka²+ka+1)+(B³+kß²+kß+1)
= (a²+B) +k(a²+3²)+k(a+3)+2
=(a+ß)³-3aß(a+ß)
+k{(a+β)^2-2aβ}+k(a+β)+2をすべて
²010 eos
----3- k
-3.
3
+*|--23)+(-3)+2²-an-for
{ 2₁
27k² = ²/3 k² + 2
k³.
4
f(ax)+f(B)=2より
12/17-12/31k+2=2
k² (2k-9)=0
274³
(-²/3 k)
9
したがって, ①より,k=g
2
144
ANN eet
+x0+xq+x=(x^
2つの極値の和が2声
|k=0, 19/10
2