-
![]()
+d.
y=x
答!
例題
基本の
135 an+1=pan+(nの1次式) 型の漸化式
a=1, an+1=3an+4n によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
p.464
/ 基本 34
4基本例題 34 の漸化式 an+1=pan+gで,g が定数ではなく,nの1次式となっ
ている。 このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。
漸化式のnをn+1とおき, a +2 についての関係式を作る。 これともとの漸化式
との差をとり,階差数列{an+1-an} についての漸化式を処理する。
また,検討のように, 等比数列の形に変形する方法もある。
CHART
an+1=3an+4n
漸化式 (.. = part (n の1次式)階差数列の利用 nの吹式
① とすると
2=3an+1+4(n+1)
......
2
an+2-an+1=3(an+1-an)+4
an+2=
②①から
anti-an=bn とおくと
これを変形すると
また
PHZ
bn+1=36+4
bn+1+2=3(6n+2)
b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8
よって、数列{6m+2}は初項 8, 公比3の等比数列で
b+2=83-1 すなわち bn=8•3"-1-2
①のn に n+1 を代入す
ると②になる。
差を作り, nを消去する。
<{bn}は{an}の階差数列 。
α=3a+4 から α=-2
<a2=3a+4・1=7
(*)
n≧2のとき
n-1
an=a1+Σbk
y=x
n≧2のとき
n-1
an=a1+ (8.3k-1-2)=1+
8(3-1-1)
-2(n-1)
k=1
3-1
である。
=4・3-1-2n-1
③
n=1のとき 4・3°-2・1-1=1
a =1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
① 初項は特別扱い
う。
したがって an=4.3-1-2n-1
1
章
漸化式数列
x-4
=x
11x
三点
移動
図 (*) を導いた後, an+1-an=8•3-1-2 に ① を代入してan を求めてもよい。
ると
4.-(αrn+B)} を等比数列とする解法
例題はan+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで, f(n)=an+βとして,
=3+4n, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)}
の値を定める。
⑩から
ゆえに
an+1_{α(n+1)+B}=3{an-(an+B)}
これと an+1=3an+4n の右辺の係数を比較して
an+1=3an-2an+α-2β
α=-2, β=-1
......
A の形に変形できるように α,β
-2c=4,α-2β=0
ゆえに f(n)=-2n-1
より、数列{an- (−2n-1)} は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから
an-(-2n-1)=4.3n-1
an=4.3" -2n-1
したがって
02-2
2c
106
+3によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
