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重要 例題284 座標空間における回転体の体積 (2)
空間内の3点O(0, 0, 0),A(1, 0, 0),B(1,1,0)を頂点とする三角形
OAB をx軸の周りに1回転させてできる円錐をVとする。円錐Vをy軸の周
りに回転させてできる立体の体積を求めよ。
〔大阪大〕
重要 283
指針
立体のようすがイメージしにくいので、断面積を考える。
Vの側面上の点を P(x,y,z),Q(x, 0, 0) とすると,
△OPQはOQ=PQの直角二等辺三角形であるから 関係
式をx,y,zで表してVの側面の方程式を求める。
②Vの平面y=tによる切り口は,右図のような曲線の一部
と直線x=1で囲まれた図形で, これをy軸の周りに1回転
させるから、題意の立体の平面y=tによる切断面はドーナ
ツ状の図形になる (解答の図参照)。この図形の面積は
(外側の円の面積) (内側の円の面積)･････・・・
解答
円錐Vの側面上の点をP(x, y, z) (0≦x≦1, y|≦1) とする。 A 0
円 V上の点Pと点Q(x, 0, 0)の距離はxであるから③
(x-x)2+y2+z^=x2
よって
x2-2²=y2(0≦x≦1)
ZA
円錐Vの平面y=t(-1≦t≦1) によ
る切り口は, 曲線 C: x²-22=12
(0≦x≦1) と直線x=1で囲まれた図
形となる。
点(0,
0) , この図形内の点との
距離の最大値は
√1²+(√1-t²)² = √2-1²
|t|
√1-12
(0, t,0)
最大
\/c
It 1 x
小
最小値は
したがって, 円錐Vをy軸の周りに1回転させてできた立体の、
平面y=tによる切断面は右の図のようになる。
この図形の面積は π(√2-1²) ²-n|t|²=2(1-t²)π
よって 求める立体の体積は
S_,2(1-12)zdt=-2x$_,(t+1)(t-1)dt
8
= -2x - (-). (1-(-1))³= - - 7
=-2π・
3
[参考] 対称性を利用して, 21 2 (1-t)rdt を計算してもよい。
p"+e="
1
B
AZ
-X-
Q(x,00
√2-12
-||-
(0, t,0)
P(x,y,z)
A
一母線
√2-1²
-√2-t²-t
X
'B
√√2-12
sysloga 75 76th
461
8章
40
体
積
