赤線で囲った部分 微分可能なことを確かめているのでしょうが、なぜこういう式になるのかわかりません

スの入 練習 ④ 131 226 基本130 重要 131 導関数から関数決定 (2) 「微分可能な関数f(x) f(x)=lex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を 求めよ｡ 条件(x)=11から、f(x)=flex-1dx とすることは できない。 まず、 絶対値 場合に分けるから A x>0のとき f'(x)=e^-1 x<0のとき f(x)=-(ex-1)=-e*+1 x>0のときは、水と条件f(1) = e から f(x) が決まる。 しかし、x<0のときは、条件f(1) = e が利用できない。 そこで、関数f(x)はx=0 で微分可能x=0 で連続 (p.106 基本事項 ■②) に着目。 指針 lim f(x) = lim f(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 x→+0 x>0のとき, ex-1>0であるから 解答 よって f(1) = e であるから e=e-1+C f(x)=ex-x+1 したがって x<0のとき, ex −1 <0であるから よって f(x)=f(-e*+1)dx よって したがって f'(x)=ex-1 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (C は積分定数 ゆえにC=1 limf(x) = lim f(x)=f(0) +0 →0 (2) =-ex+x+D (D は積分定数) f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0で連続である。 ゆえに ①から ②から x→+0 limf(x)=lim(ex-x+1)=2 x→+0 limf(x)=lim(-ex+x+D)=-1+D ゆえに D=3 x-0 このとき, lim x→0 2=-1+D=f(0) lim ん→+0 x→−0 f(x)=-e*+x+3 -=1から e-1 ****** f(h)-f(0) h =lim ん→+0 f(h)-f(0) h f'(x)=-ex+1 lim h--0 eh-h-1 h (土) -=0, -=0 lim h-0 よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。 以上から ƒ(x) = {²-e²+x+3 (x<0) (x≧0) -e″+h+1 h ● ya 13 de 導関数f'(x) はその定義 から,x を含む開区間で 扱う。したがって, x>0. x<0 の区間で場合分け して考える。 SURSIC O f(x) は微分可能な関数。 <lim ん→+0 ◄lim Stor 必要条件。 逆の確認。 p.121 も参照。 y=ex-1 ん→-01 er. h {=(e^-1)+1} DET x>0 とする。微分可能な関数f(x) がf(x)=112-1 を満たし, f (2)=-log2で あるとき, f(x) を求めよ。

これなぜ2行目で＝をつけてはいけないんですか？

5 10 168 第6章|微分法の応用 関数がx=aで微分可能でなくても,x=aで極値をとる場合がある。 関数f(x)=|xlvx+1 の極値を求めよ。 考え方 絶対値をはずし, それぞれの区間で導関数の符号を調べる。 x30 イコールつけたら. ダメ?? 15 応用 例題 3 解答 関数の定義域は x≧-1 である。 x≧0のとき x>において f'(x)=√x+1+ x -1 f'(x) よって, x>0 では,常に -1≦x<0 のとき f(x)=-x√x+1<0のとき |x|=-x -1<x<0 において f'(x)= 2 f'(x)=0 とすると x= 3 以上から, f(x) の増減表は次のようになる。 f(x) 0 よって, f(x) は f(x)=x√x+1 x≧0 のとき |x|=x 3x+2 2vx+1 ...... xC 2√x+1 x=0 5²² ((x) ² = − 1 ²0 f'(x)>0 + 2 x= で極大値 3 2 3 20 極大 2√3 9 2√3 20 = 3x+2 2√x+1 極小 0 + x=0で極小値0 をとる。

赤線で囲った部分は要するに何を言ってるんですか？ それと、赤線で囲ったところの上の式変形、どういう思考回路で出てくるんですか？

た接線 基本 次の曲線上の点P, Q における接線の方程式をそれぞれ求めよ。 x2 田線の接線 q² + y² (②2) 曲線x=et, y=et のt=1に対応する点 Q ttel, a>0, b>0 基本 81 める。 7/2 20 ((1) 楕円 指針 「解答」 (1) 両辺をxで微分し,y'′ を求める。 -=1上の点P(x1, y1) 62 2²2 +22²2 62 接線の傾き=微分係数 まず, 接線の傾きを求める。 dy dt dy dx dx dt y-Vi=- よって =1の両辺をxについて微分すると 2x 2y ゆえに,y=0のときy= 62x a² 62 a'y よって,点Pにおける接線の方程式は,y≠0 のとき 62x1 a²y₁ 点Pは楕円上の点であるから (2) th + •y'=0 dy dx = (2) dy dt dx dt X1X (x-x1) すなわち 2 a² 62 a² 62 y=0のとき, 接線の方程式は y=0のとき, x1 = ±α であり, 接線の方程式は これは ① で x = ±α, y=0 とすると得られる。 したがって 求める接線の方程式は (2) dx = e², dy = =et, dy=e-t²(-2t)=-2te-t² dt dt -2te-t² et + = + X₁² y₁² 2 q² 62 2 yiy x₁² y₁² + =1 X1X Viy 2 62 + t=1のとき de, 1/2) = -2/2 Q(e, dy == dx e² したがって 求める接線の方程式は -=1 [(2) 類 東京理科大 ] /p.142 基本事項 2. 基本 81 x1x yiy a² =-2te-t²-t + =1 62 を利用。 1 x=±α 2 ext y-1---²/(x-e) tah5 y=- すなわち 3 陰関数の導関数につい ては, p.136 を参照。 ただし, a>0 5 両辺に12/12 を掛ける。 傾き b²x₁ a²y₁ -a x=-a yA 3e10 | 次の曲線上の点P, Q における接線の方程式をそれぞれ求めよ。 83 _ (1) 双曲線x2-y2 = d² 上の点P(x1, y1) 0 2 YA b p.137 参照。 2539 O -b P(x1,y1) a x=a -y=-2²/x+³ Q(t=1) 153 EY70 4章 2接線と法線

数学の、微積分についての問題が分からないので至急教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️ 1.(例に従って求めよ。導関数の公式を使った場合、再提出とする) 例 F(X)=X2乗で、微分係数F´(2) F(2+h)-F(2) =(2+h)2乗-２の2乗 =h(4+h) よって、微... 続きを読む

245番の解説をお願いします🙇‍♀️ 接線の問題です。

が成り立つとき, f(x) と 86 曲線 y=x-x 上の点 (1, 0) における接 線がこの曲線と交わるもう1つの点の座標を求 めよ。 87 3次関数 y=x+x²-1のグラフの接線で, 原点を通るものの方程式を求めよ。 また, その ときの接点の座標を求めよ。 (*) (uv)'=u²v+uv' 曲線上の点における接線 曲線 y=f(x) 上の点P(a,b)に おける接線の方程式は y-b=f'(a)(x-α) ・曲線上にない点Qを通る接線 曲線上の点P(a, f(a)) における 接線y-f(a)=f'(a)(x-a) が点 Qを通ることからαを決定。 A *244((x)=x+ax+bx+cとする。 曲線 y=f(x) は直線y=x+3と点 P (-1, 2) で接している。 また, 曲線 y=f(x) 上の点Q (2, f(2)) における接 [05 津田塾大] 線は点Pを通る。このとき,定数a, b, c の値を求めよ。 *245a は実数とする。 2つの曲線 y=x2+2ax²-34²x-4 と y=ax2-2a²x-3a は、ある共有点で両方の曲線に共通な接線をもつ。 このとき, αの値を求めよ。 [05 千葉大]

(１)で解答のマーカー部はどういう意味で言っているのですか？また、記述の場合書かなければなりませんか？？

2 次の各問いに答えよ。 □(1) 微分可能な2つの関数f(x), g(x)の積f(x)g(x) の導関数を定義に従って求めよ。 口 (2) αを実数とするとき,関数y=(1+x) の導関数を求めよ。 口 (3) 関数y= x √1+x² (4) nが正の整数であるとき, 次の不等式が成り立つことを示せ。 2 3 √1+n²-1< -1</√/12 + + 7/7/5 + √10 の増減,グラフの凹凸,漸近線を調べ,グラフの概形をかけ。 + n √1+n² ('07 鹿児島大 理 工, 医)

(3)の増減表で、tが0と1の間のときf'(x)がマイナスになるのが分かりません。

2 > 1 を満たす定数aに対し, 座標が (α, α) である点をAとする。 関数y=-(x>0) x P(1,1)をとり、t>0 で定義された関数f(t) , 長さ AP を用い のグラフ上を動く点P( てf(t) = AP2 で定める。 次の問いに答えよ。 □(1) f(t) をta を用いて表せ。 (2) f(t)=0となるt (t> 0) の値を求めよ。 □ (3) APが最小になるような点Pの座標とAPの最小値を求めよ。 ('13 大阪市立大・理,医,工)

まるで囲った部分はどのようにして導き出してるか解説していただけると助かります🙇‍♀️

の 32 の で 2 る 定数とする。 x≧0 において、常に不等式x-3ax²+4a> 0 が成り立つよう 234 不等式が常に成り立つ条件(微分利用) 00000 の範囲を定めよ。 基本229 f(x)=x²-3ax² + 4a LT, [xにおけるf(x) の最小値] >0 となる条件を求める。 導関数を求め、 f'(x)=0 とするとx=02 02a の大小関係によって, f(x) の増減は異 なるから、 場合分けをして考える。 (x)=x3x²+4a とすると f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a) x=0.2a [1] 24 < 0 すなわちα<0のとき x≧0 におけるf(x) の増減表は右のよ うになる。 ⑩ を満たすための条件は したがって a>0 f(x)=0 とすると 求める条件は、次のことを満たすαの値の範囲である。 x≧0におけるf(x) の最小値が正である」 ...... これはα<0に適さない。 [ [2] 2a=0 すなわち α=0のとき x sono f'(x) 4a>0 よって a>0 [[3] 24 0 すなわち α>0のとき 0 x≧0 におけるf(x) の x 増減表は右のようにな f'(x) る。 ①を満たすための条件 -4a³+4a>0 f(x)=3x2≧0でf(x)は常に単調に増加する。 ①を満たすための条件は f(0)=4a>0 これはα=0 に適さない。 ゆえに 2a<0 J 2a 0 x -4a(a+1)(a-1)>0 a(a+1)(a-1) <0 これを解くと a<-1,0<a<1 > を満たすものは 0<a<1 [1]~[3] から 求めるαの値の範囲は 0<a<1 0 f(x) 4a 2a 0 + f(x) 4a-4a³+4a 2a=0 0<2a 102a x 注意 左の解答では, [1] 2a<0, [2] 2a=0, [3] 240の3つの場合 に分けているが, [1] と [2] をまとめ, 2a≦0, 240 の場合に分けてもよ い。 なぜなら, 240のとき, x≧0ではf'(x)≧0 であるから x≧0でf(x) は単調に増加する。 ゆえに, x≧0 での最小値 はf(0) =4α である。 実際 に左の解答 [1] [2] を 見てみると、 同じことを考 えているのがわかる。 a (a+1)(a-1)の符号 a>0のとき a(a+1)>0 ゆえに a1 <0 としてもよい。 立つような定数αの値の範囲を 6 300 38 関連発展問題

導関数の最大最小の問題です 最後の最大最小のまとめ方がなぜこうなっているのかが分かりません。x=2で最小値-4などはどこから来たのでしょうか。 教えて頂きたいのです よろしくお願いします🙇‍♀️

416 例題 234 関数の最大・最小〔5〕･･･係数に文字を含む よびそのときのxの値を求めよ。 a>0とする関数f(x)=x-3ax 0≦x≦3) の最大値と最小値, お 思考プロセス Re Action 関数の最大･最小は, 極値と端点での値を調べよ 例題228 f'(x)=3x-6ax=3x(x-2a) であり aの値が大きくなるとき, グラフ全体が平行移動するのではなく, 極小値をとるx (2a) が右側へ動いていく。 問題を分ける 最大値と最小値を同時に考えるのは難しいから, 分けて考える。 (極小となる点を 区間に含む 最小値 最大値 x f'(x) + f(x) > 0 0 極小となる点を 区間に含まない / ･･･・･ (最小値)=(極小値) /区間の両端での 値の大小を考える f'(x)=3x²2-6ax=3x(x-2a) f'(x) = 0 とすると x=0, 2a よって, f(x) の増減表は次のようになる。 YA 0 2a 0 + -4a³7 ゆえに,y=f(x)のグラフは右の図。 最小値について (ア) 3 <2a すなわちa> f(x)はx=3のとき 最小値 27-27a - f(x) は x = 24 のとき 最小値-4 3 12/2のとき 3 (イ) 20≦3 すなわちaso2 のとき *** /区間の両端での 値の大小を考える 境界となる 両端の値が等しいときを考える 0 U 0 -4a³ 2a x 2a 3 D YA O 2a N dara 2a a>0 より 2 > 0 S 極小となるx = 24 を区 間 0≦x≦3に含むかど うかで場合分けする。 3 245 = (- 次に, 最大値について f(x)=f(0) となるxの値は x-3ax² = 0 より x2(x-3a) = 0 よって (ア) 3 <3a すなわちa>1 のとき f(x)はx=0のとき 最大値 0 x = 0, 3a (イ) 3a = 3 すなわちα=1のとき f(x) は x = 0, 3のとき 最大値 0 (ウ) 34 <3 すなわちa <1のとき f(x)はx=3のとき 最大値 27-27a a=1のとき 1<a ≤ 3 2 3 2 R O <a のとき -4a³ ------ 0 3a 0 3a3 以上より, f(x) の最大値と最小値,およびそのときのxの 値は ( 8 (0<a<1のとき 2a のとき x=0で最大値 0 x 3.3g 3 x=3 で最大値 27-27a x=2で最小値-4c x = 0, 3 で最大値 0 x=2で最小値 4 x=2αで最小値-4α x=0で最大値 0 x=3で最小値 27-27a 最大値となり得る極大値 f (0) = 0 と等しい値をと るxの値を求める。 p.407 Go Ahead 16 の内 容を用いて, x = 3g を確 認できる。 (Svarar 1 aaa 0 2a 3a x=3g を区間0x3 に含むかどうかで場合分 けする。 (ア) (イ) の最大値は一致 するが、 最大値をとるx の値が異なるから, 分け て考える。 分かりやすいように, 最 後に, 最大値と最小値を まとめる。 Point... 定数を含む関数の最大･最小･ 例題234 において、 場合分けを考えるとき, 固定された区間 0≦x≦3に対して, グラ フを x = 24 や x=3α に着目し伸縮させて考 えた。 (最小値) (ア) 見方を変える 右の図のように、グラフを固定して,区間の端 点x=3を相対的に動かしても考えやすい。 (イ) (最大値) (ア)(イ) (ウ) HUN 0 32a 0 3 3a3 5章 14 導関数の応用 練習 234a>0とする。 関数 f(x)=x-342x (0 ≦x≦1) の最大値と最小値, およ びそのときのxの値を求めよ。 p.430 問題234 41

囲んだ部分って何をそうやっでいるのですか？

220.〈媒介変数表示と第2次導関数〉 xの関数yが媒介変数0を用いて x = 1 - cose, y=0-sin0 と表されているとき dyとdx をそれぞれ0で表せ。 (1) dx dx2 0 (2) tan mo =2のとき. 2 2 dy d'y と dx dx2 の値をそれぞれ求めよ。 [東京理科大工]