例題15]
7進法で表すと3桁の数 abc() になり, 5進法で表すと3桁の数
bca (5) になる数を10進法で表せ。
[16 星薬大]
指針
n進法を2以上の整数とするとき 0 以上の整数は,すべて
k-1
0
Ak • n³² + AR-1° n² −1 +......+a₂• n² +α₁•n¹+ao n°
(ao, 1, 2,...... k-1, α は0以上n-1以下の整数, ak≠0)
MI
Ita
の形にかくことができる。
解答求める数をnとすると, abc(), bca(s) を 10 進法で表して
n=α・72+6・7+c=6.52+c・5+α
ar
(ただし, 1≦a≦4,1≦≦4,0≦c≦4)
よって 24a-96-2c=0
整理すると 2 (12a-c)=96
(1)
2とは互いに素であるから, 6は偶数である。
16≦4 であるから 6=2,4
1+18
[1] 6=2 のとき
12a-c=9
1≦a≦4,0≦c≦4 より
a=1,c=3
12a-c=18
-x+x (E)
[2] 6=4 のとき
1≦a≦4,0≦c≦4 より,これを満たす整数 α, cは存在しない。
[1], [2] より, 求めるnは n=49・1+7・2+3=66 答
