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25 比例式と式の値
x+y
(1)
y+z
x+x
xy+yz+zx
5.
7
(0)
の値を求めよ。
x² + y²+z²
b+c
c+a
(2)
a+b
=
a
b
のとき,この式の値を求めよ。
・基本 24
指針条件の式は比例式であるから,
(1) = とおくと
x+y=5k, y+z=6k, z+x=7k
比例式はんとおくの方針で進める。
A
これらの左辺は x, y, zが循環した形の式であるから,Aの辺々を加えてみる。
すると, x+y+z をんで表すことができる。 右下の検討 参照。 (2) も同様。
(1)
x+y_y+z
2+x
5
解答
=kとおくと, k=0で
7
x+y=5k
①, y+z=6k... ②, z+x=7k
(3
①+②+③ から
2(x+y+z)=18k
したがって
x+y+z=9k
④
4 ② ④③ ④ - 1 から, それぞれ
x=3k, y = 2k, z=4k
よって
xy+yz+zx
6k2+8k2 +12k2
x2+y2+22
(3k)+(2k)+(4k)²
26k2 26
29k2 29
(2) 分母は0でないから
b+c_cta a+b
a
=
0b+c=ak
abc=0
=
=kとおくと
C
晶検討
47
①~③の左辺は,x, y, z
の循環形 (x→y→z→xと
おくと次の式が得られる)
になっている。循環形の
式は,辺々を加えたり、引
いたりすると,処理しや
すくなることが多い。
<x:y: z=3:2:4から
3・2+2・4+43
32 +22 +42
と計算することもできる。
abc≠0 α = 0 かつ
6 = 0 かつ c≠0
1
J
①, c+a=bk ・・・ ②, a+b=ck ... ③
2(a+b+c)=(a+b+c)k
①+②+③ から
よって
(a+b+c)(k-2)=0
ゆえに
a+b+c=0 または k=2
よって k=-
b+c= -a
=-1
a
a
[1] a+b+c=0のとき b+c=-a
0の可能性があるから,
両辺をa+b+c で割っ
てはいけない。
(*)k=2のとき, ① ②
から
b+c=2a, c+α=26
この2式の辺々を引いて
b-a=2(a-b)
C0-1-8 at 0-1-0.
よって a=b
[2] k=2のとき, ①-② から a=b(*)
② ③ から b=c
よって, a=b=cが得られ, これは abc≠0を満たす (分母) ≠0の確認。
すべての実数a, b, c について成り立つ。
[1], [2] から, 求める式の値は -1, 2
