基礎問
206
127 確率の最大値
白玉5個、赤玉n個の入っている袋がある. この袋の中から、
2個の玉を同時にとりだすとき, 白玉1個, 赤玉1個である確率
をnで表すことにする. このとき, 次の問いに答えよ.ただし
n≧1 とする.
(1) n を求めよ.
(2) を最大にする n を求めよ.
条件に文字定数nが入っていると,確率はnの値によって変化する
ので,最大値が存在する可能性があります. 確率の最大値の求め方
は一般に,関数の最大値の求め方とは違う考え方をします。それは、
変数が自然数の値をとることと確率 ≧0であることが理由です。この考え方は、
パターンとして頭に入れておかなければなりません.
その考え方とは次のようなものです.いま、すべての自然数に対して p, >0
のとき、 ある自然数Nで,
精講
n≦N-1のとき,Pn+1>1
Pn
n≧Nのとき,
が成りたてば,nで表されている確率は,
すなわち,
Pn+1
Pn
Þ₁<Þ₂<······ <ÞN> ÞÑ+1>······
が成りたちます.だから n=Nで最大とわかります。
Pn+1
pn
<1
と1の大小を比較すればよいのです. ここで,
Pn+1-Pn>0
ですから、 Pn+1-0の大小を比較してもよいのですが、 確率の式という
のは、ふつう積の形をしていますので,わった方が式が簡単になるのです。
Pn+1>1
Pn
