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例題 96 焦点と接点を結ぶ直線と接線のなす角
楕円
1,2
D
★★★★
621 上の任意の点Pにおける接線をとし 2つの焦点を
F, F とするとき,接線1が2直線 PF, PF" となす角は等しいことを示せ。
目標の言い換え
2直線のなす角
→ (傾き) = tan b, と tan0 = tan (01-02)=･･･(加法定理)･･･の利用
→ 接線や直線 PF, PF' がx軸に垂直のときを
分けて考えなければならない。 (大変 )
⇒ 接線の法線ベクトルをすると
法線ベクトルの利用
すべての場合を考えることができる。
PF のなす角α) = (n と PF のなす角β)
F
⇒ cosa = cosβ を目指す。
C
y
02
0₁
0
x
Action» 接線が直線となす角の性質は、法線が直線となす角を利用せよ
α>b>0 としても一般性を失わ
B
a
P
=d2-2cx1+
CX であるから
|PF| = q – Cx1
=a-
同様に, PF'= (-c-x1, -y)より
a
CX1
a
PFn= -C-1,|PF|=α+
CX1
a
PF, PF' とnのなす角をそれぞれα, β(0≦a≦
MBS) とおくと
cosa=
cos B
Action.
PF • n
CX1
1
a²
CX1
a-
n
an
PFn (a
PF.n
|PF|||
cosa=cosβ
(a + cxi)\n\
CX1
a
sanB≦πであるから
alml
a=Ba
したがって, 接線が2直線 PF, PF'′ となす角は等し
Point...焦点と接点を結ぶ直線と接線のなす角 -
光線が直線に当たって反射するとき,右
図1のように入射角と反射角の大きさ
は等しくなる。 曲線上の点Pに当たって
反射する場合には,図2のように、点P
における接線に対して入射角と反射角を
考え、直線と同様にこれらの大きさは等
しくなる。
よって
ない。
焦点F'(-c, 0),F(c, 0) (c>0)
y▲
P(x1,yi)
とすると
c² = a²-b²
えればよい。
b>a (長軸がy軸上)
のときも同様に証明でき
ることが明らかであるか
> bの場合だけ考
F
また,点P(x1,y1) とすると, 接線
F
-a
-C
0
ca
の方程式は
X1X Viy
+
a²
62
=1
よって, lの法線ベクトルの1つは
X1
n =
ここで, PF = (c-x, y) より
n = (a, b) 200
PFn=(c-x1
X1
09D
62
2
CX1 X1 Yı
2
a²
a²
62
2
Pは楕円上の点であるから+2=1
よって PF = CX-1
· n
直線 ax + by + c = 0 の
法線ベクトルの1つは
0円
図 1
例題96で証明したことは, 右の図3において, 点Pが
のどのような位置にあってもこの性質が成り立つこと
楕円の1つの焦点から発射した光線が楕円に当たって反
と、すべてもう1つの焦点に集まることが示されたこと
(さらに, p.188 Play Back 12 も参照。)
また
||PF|2=(c-x)2+y^
X1
=c2-2cx1+x2+621
= c2+b2-2cx1+ (1-1) x²
62
a"
したがって、盗んできた
練習 96a,bはa>0,6≠0 を満たす定数とする。
の交点Pにおける放物線Cの接線をしと
男接線が2直線, PF となす角は等し
