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重要 例題 143 三角方程式の解の存在条件
[同志社大]
0 の方程式 sin'0+acos0-2a-1=0 を満たす 0 があるような定数αの値の範
囲を求めよ。
指針▷ まず, 1種類の三角関数で表す -
①
(1−x2)+ax-2a-1=0 すなわち x2-ax+2a=0 ......
よって、求める条件は、 2次方程式 ① が-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつ
ことと同じである。 次の CHART に従って, 考えてみよう。
2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目
解答
COS0=xとおくと, -1≦x≦1であり, 方程式は
(1−x2)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0… ①
この左辺をf(x) とすると,求める条件は, 方程式f(x)=0が
-1≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。
これは,放物線y=f(x) とx軸の共有点について,次の [1] ま
たは [2] または [3] が成り立つことと同じである。
① [1] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲でx軸と異なる2
点で交わる, または接する。
このための条件は,① の判別式をDとすると D≧0
D=(-α)²-4・2a=a(α-8) であるから
a(a-8) ≥0
よって
a≤0, 8≤a
(2)
軸x=1/27 について-1<<1から 2<a<2:
….....
cos0=xとおくと, -1≦x≦1 で, 与式は
1
a>--
3
f(-1)=1+3a> 0 から
f(1)=1+a>0
から
②~⑤の共通範囲を求めて
□ [2] 放物線 y=f(x) が-1<x<1の範囲で,x軸とただ1点
で交わり、他の1点はx<-1, 1<xの範囲にある。
このための条件は f(-1)(1)<0
ゆえに (3a+1)(a+1) < 0
よって-1<a<-
<-1/313
① [3] 放物線y=f(x)がx軸とx=-1 またはx=1で交わる。
1
f(-1) = 0 またはf( 1 ) = 0 から
a=- または α=-1
3
[1] [2] [3] を合わせて -1≤a≤0
[参考] [2]と[3] をまとめて, f(-1)(1)≧0としてもよい。
a>-1
-<a≤0
基本10
検討
x2ax+2a=0 をαについ
て整理すると
x² = a (x-2)
よって, 放物線y=x2と直線
y=a(x-2)の共有点のx座
標が-1≦x≦1の範囲にあ
る条件を考えてもよい。 解答
p.139 を参照。
[1]
+
+
YA
H
O
+
1
[2]
WA
1
X
yA
NA
1
