［数学III 関数のグラフの概形］ 348の解答で紫で線を引いている所はなぜ0≦x≦2だったのが、0<x<2で場合分けを行っているのでしょうか？

(1) y=log|logx-1| 348 次の曲線の概形をかけ。 (1) y2=x2(4-x2) 349 xy平面上に, 媒介変数t で表され

数学IIIの積分の問題です。 解き方が分からないので教えて欲しいです🙇‍♀️

4aを正の定数とする。 0 を媒介変数とする曲線 [x=acos30 (0≤0≤2π) ly=asin30 によって囲まれた部分の面積を求めよ。 - a ya - a a x

なんのために最後に漸近線を求めているのですか？

重要 例題 78 z を 0 でない複素数とし,x,yをz+ 1 2 =x+yi を満たす実数,αを0<a</ を満たす定数とする。z が偏角 αの複素数全体を動くとき、xy平面上の点 (x, y) の軌跡を求めよ。 *U*2301 [類 京都大] 重要 26 解答 指針偏角αの範囲が条件であるから、極形式z=r (cosatisina) (0) を利用。 ■iの形に表すことにより,x,yをそれぞれr, aで表す。 12+- 2 つなぎの文字を消去 して,x,yだけの関係式を導く。なお、>0や0<a< より, xの値の範囲に制限がつくことに注意。 ゆえに TOADE z=r(cosatisina) (x>0,0<a</1/2)とすると ゆえに 0<a</であるから よって r+ cos a' - 1 (cosa + sina) == ² ( cos x r= 2 COS r 2 -=1から 練習 ③78 1 z+ -=r(cosa+isina)+¹(cosa-isina) 2 * = = =(r+ + )cosa+i(r— — )sina cosa, y=(r-1) sina x=(x+1/27) 1 x 2 cos a x² Acos2a 双曲線 w=z+. =r+ r a² cos a よって x≧2cosa また, >0 から ゆえに したがって 求める軌跡は osax + cos a>0, sin a>0 y sina y 表す図形 (2) r sin a したがって 4sin² a ここで, >0であるから, (相加平均) (相乗平均) により x²y² COS α -(tana)x<y<(tana)x 4 cos' a 4sin'α ;-). - / - ( 1 x =2 2. 等号はr=1のとき成り立つ。 _____________> +___>0, sina sin a COS α sina sina)=1 COS α COS α 63401 -=1のx≧2cosα の部分 < 絶対値や偏角αの範囲 に注意。 1 2 =-{cos(-a)+isin(-a)} ◄2+1/2=x z+ =x+yi 検討 第4章で学ぶ極 限の知識を用いて, y が実数 値全体をとりうることを調べ ることもできる。 lim m(x-¹)=∞, に lim (-1)=-∞であり, sinα> 0から lim y=-∞, limy = ∞ r+0_ →0 点 (x, y) の軌跡は次の図の 部分。 (0) y=(tana)x を求めている -2cosa / 2cosa y=-(tana)x 0 でない複素数zが次の等式を満たしながら変化するとき, 点z+-が複素数平 面上で描く図形の概形をかけ。 (1) |2|=3-(2) |z−1|=|z-i| 139 2章 10 媒介変数表示

なんのために最後に漸近線を求めているのですか？

重要 例題 78 w=z+ a² 0でない複素数とし,x,yをz+ 1 2 を満たす定数とする。 zが偏角 α の複素数全体を動くとき、xy平面上の点 (x,y) の軌跡を求めよ。 時で [類 京都大] 重要 26 指針偏角αの範囲が条件であるから,極形式z=r(cosa+isina) (0) を利用。 1を の形に表すことにより,x,yをそれぞれr,αで表す。 1 z + 解答 Iz=r(cosa+isina) (r>0, 0<a<- >60120 * ゆえに 0<a < 1/2 よって つなぎの文字を消去して, x, yだけの関係式を導く。 なお,00<a</ より、xの値の範囲に制限がつくことに注意。 HOOVER 練習 78 1 z+ -=r(cosa+isina)+(cosa-isina) r+ = (r++)cosa+i(r— — )sina r= cosa, y=(r1) sina x=(y+/-/- であるから r COS α x 双曲線 x ゆえに COS α r 2 x y x 1² ² = 1 +5 +²1² (cosa + sina) (cosa = 2 COS x #601 cos a x≧2cosa -=rt π <<//) とすると よって また,0から ゆえに したがって、求める軌跡は 表す図形 (2) + 4 cos² a cos a>0, sin a>0 y sin a r y sina 図 x2 したがって 4 cos² a 4sin² a ここで,y>0であるから、(相加平均) (相乗平均) により 1 + 122 √/1.7 CAGLEDEYSET =x+yi を満たす実数,αを0<a< π x cos a -(tana)x<y<(tana)x 4sin'a + sinα =2 y > 0, x COS α T y sin a y sin a 等号はx=1のとき成り立つ。 J=1 x y ->0 sin a COS Q -=1のx≧2cosα の部分 絶対値や偏角αの範囲 に注意。 700円 =—-{cos(—a)+isin(—a)} ◄z+1=x+yi r38670 10. 面上で描く図形の概形をかけ。 (1) |2|3|z-1|=|z-i| 検討 第4章で学ぶ極 限の知識を用いて, yが実数 全体をとりうることを調べ ることもできる。 lim(r-1)=∞, lim 1 (₁ - ²) = -₁ ∞であり、 +0 sinα> 0から 17 新東線 limy=-∞, limy=8 r+0 点 (x,y) の軌跡は次の図の を求めている T2= -2cosa yay=(tana)x (1) -------- 1 0 でない複素数zが次の等式を満たしながら変化するとき, 点2+ / 2cosa y=-(tana)x が複素数平 139 2章 10 媒介変数表示

解答の1行目の下線を引いた部分の操作についてです。 分母≠0であるはずなのに、分母を払った式にt≠±1という条件がついてないのはなぜですか？

66 練習 27 tを媒介変数とするとき, 次の各組が表す図形を求めよ。 4(1-t²) 2(1+t) (1) x= (2))x= 1+ t², y = 2t 1+t² 1-t², y = 4t 1-t² p.75 問題27

(3)の答えの答えになるまでの途中式をお願いします。

基礎問 260 第8章 ベクトル 167 球と直線 座標空間内に,球面 C:x'+y^+z'=1 と直線があり、直線 1 は点A(a, 1, 1) を通り, z=(1,1,1)に平行とする.また、 α≧1 とする. このとき, 次の問いに答えよ. (4) (1) Z上の任意の点をXとするとき,点Xの座標を媒介変数tを 用いて表せ. (2) 原点Oから1に下ろした垂線とlの交点をHとする.Hの座 標をαで表し, OH をαで表せ. (3) 球面Cと直線lが異なる2点P, Qで交わるようなaのとり うる値の範囲を求めよ. (4) (3) のとき,∠POQ=90° となるαの値を求めよ. 精講 点A(xo,yo, zo) を通り, ベクトル=(p,q,r)に平行な直 線上の任意の点をXとすると, tu OX = (xo,yo, zo)+t(p,q,r) と表せます。 (2) Hは上にあるので, (1) を利用すると, OH がαと tで表せます. そのあと, OH･Z = 0 を利用して,t をαで表します。 (3) 球面Cと直線lが異なる2点で交わるとき, OH < 半径 が成りたちます。 POQ=90°をOP･OQ=0 と考えてしまっては, タイヘンです. それは,PとQの座標がわからないので, OP, OQを成分で表せないから です。座標やベクトルの問題では, 幾何の性質を上手に使えると負担が軽く なります。 解答 (1) OX=OA+tu=(a, 1, 1)+(t, t, t) =(t+a, t+1, t+1) .. X(t+a, t+1, t+1)

赤で丸をつけた所がわからない問題です。 全部でなくてもいいので教えてください。

5 1 焦点が点(60) で, 準線が直線x=-2 である放物線の方程式を求めよ。 p. 34,46 2 楕円 2x2+y2=8 と直線y=mx+4 の共有点の個数を調べよ。 x² 3 楕円 -+y²=1 に内接し, x軸,y軸に 4 平行な辺をもつ長方形の面積をSとする。 Sの最大値を求めよ。 p. 53,54 4 次の媒介変数表示はどのような曲線を表すか調べて, 図示せよ。 [x=t2+1 x=cost (1) |y=t²-3 S y=cos2t 5 中心の極座標が π x2 半径が1である円の極方程式を求めよ。 ←p.48 12x -+y²=1 p.51~54 章末A⑤, ⑥ 6 極座標が (4,0)である点Aを通り,始線となす角が1である直線の極方 程式を求めよ。 章末A⑤, ⑥ 2

例題190に関して、グラフの対称性を利用して範囲を絞っていることはわかるのですが、その際θ＝0およびπにおいてなぜ微分可能なのでしょうか。 188と同様の性質から、範囲を絞っていると推測しているのですが、188で x＝2πのときに微分ができないならば、190のθ＝πについて... 続きを読む

重要 例題 190 関数のグラフの概形 (4) 媒介変数表示 曲線 x=cos o y=sin20 指針 基本は 0の消去。 y2=sin 20=4sin²0cos20=4(1-cos²d) cos'日から,y'=4x2(1-x2) となり,前ページのようにして概形をかくことができる。 しかし、媒介変数が簡単に消去できないときもあるので,ここでは, 媒介変数の変化に伴うx, y それぞれの増減を調べ, 点 (x,y) の動きを追う 方針で考えてみる。 まず, 曲線の対称性を調べる。 解答 cos O, sin 20 の周期はそれぞれ2π, πである。 x=f(0), y=g(0) とすると, f(-8)=f(0),g(-8)=-g(0) であるから, 曲線はx軸に関して対称である。 したがって, ① の範囲で考える。 ① の範囲でf'(0) = 0 を満たす 0 の値は 0 ƒ'(0) x f'(0) = - sine, g'(0) = 2cos20 g'(0) y (グラフ) 0 0 1 (−T≦O≦π) の概形をかけ (凹凸は調べなくてよい)。 _g' (0) = 0 を満たす 0の値は 4'4 ① の範囲における0の値の変化に対応した x,yの値の変化は, 次の表のようになる。 YA 1 : T x ← + + 1 √2 0 ↑ 1 y グラフ π 4 ↑ : ↓ π 2 0 ↓ ↑ - : ← t T ...... 0=0, π 0= 1 √2 0 ↓ 0 ↓ -1 ← π 3 π (*) I π T ← + ← π よって, 対称性を考えると, 曲線の概形は、 右の図。 注意 1. 表の←はxの値が減少することを表す。 また ↑ ↓ はそれぞれyの値が増加, 減少することを表す。 意 2. グラフの形状を示す矢印, , , は x,yの増減 に応じて、下の表のようになる。 0 -1 + 基本 187,188 0 (*) 0=α に対応した点を (x,y) とすると,0=-α に対応した点は(x,y) よって, 曲線はx軸に関し て対称である。ゆえに, 0≦OSTに対応した部分と 00に対応した部分 は,x軸に関して対称。 √2 8=R 0 21 8= T! 1 A=1 v2 100 -1 1

1通りは解いてみたのですが、等号成立までどうやって解いているのかが分かりません。どなたか教えてくださると嬉しいです。解答も載せておきます。

4 aを正の数とする。 zy 平面において, 点 A (a,0) をとり, C を双曲線 ²-43²-4 とし, C2を双曲線²4²=4 とする。 以下の問いに答えよ。 (1) 点PがC1 上にあるとする。 このときAPを最小にする点Pとその最小値を 求めよ。 (2) 点PがC2 上にあるとする。 このときAP を最小にする点Pとその最小値を 求めよ。 (3) 点PがC1または C2上にあるとする。 このとき点 (2,0) が, AP の最小値を 与える点Pとなるようなaの値の範囲を求めよ。

３番です、１枚目の下線３行はどういうことでしょうか？ また、２枚目、解説にこのような図形があるのですが、３番の問題文からなぜこのような図を考えられるのですか？ また、問題文冒頭の球面Cの2次式がどのような図なのかあまりピンときません。

167 球と直線 座標空間内に,球面 C:x2+y^+z2=1 と直線があり、直線 1は点A(a, 1, 1) を通り, =(1,1,1) に平行とする.また, a≧1 とする.このとき、 次の問いに答えよ. (1) 上の任意の点をXとするとき, 点Xの座標を媒介変数tを 用いて表せ. (2) 原点Oから Hの座 に下ろした垂線との交点をHとする. 標をαで表し, OH をαで表せ. (3) 球面Cと直線が異なる2点P, Qで交わるようなaのとり うる値の範囲を求めよ. (4) (3) のとき,∠POQ=90° となるαの値を求めよ. |精講 (1) A(No, yo, Zo) を通り, ベクトル=(p,q,r) に平行な直 線上の任意の点をXとすると, OX = (xo,yo, Zo)+t(p,q,r) と表せます. (2) Hは上にあるので, (1) を利用すると, OH がα と tで表せます. そのあと, OH・u=0 を利用して, t をαで表します. (3) 球面Cと直線が異なる2点で交わるとき OH < 半径 が成りたちます. (4) POQ90 OP･OQ=0 と考えてしまっては, タイヘンです。 それは,PとQの座標がわからないので, OP, OQを成分で表せないから です。座標やベクトルの問題では, 幾何の性質を上手に使えると負担が軽く なります。 解答 (1) OX=OA+tu=(a, 1, 1)+(t, t, t) =(t+a, t+1, t+1) U X(t+a, t+1, t+1)