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重要 例
126 領域と分数式の最大最小
x,
00000
yが2つの不等式x-2y+1≧0, x2-6x+2y+3≦0 を満たすとき,
|最大値と最小値, およびそのときのx,yの値を求めよ。
y-2
x+1
の
基本 122
20
指針 連立不等式の表す領域 A を図示し,
y-2
x+1
つようなたの値の範囲を調べる。 この分母を払ったy-2=(x+1)は,点(1, 2)
を通り傾きがたの直線を表すから、傾きんのとりうる値の範囲を考えればよい。
=kとおいたグラフが領域Aと共有点をも
CHART
分数式
y-b
x-a
の最大 最小
y-b
x-a
=kとおき, 直線として扱う
x-2y+1=0
答
①, x2-6x+2y+3=0
とする。 連立方程式①,②を解くと
... 2
(4, 5/2).
(x,y)=(1,1) (4.2)
ゆえに、連立不等式x-2y+1≦0,x2-6x+2y+3≦0 の表
す領域 Aは図の斜線部分である。 ただし,境界線を含む。
y-2
=kとおくと
x+1
y-2=k(x+1)
すなわち
y=kx+k+2 ...... ③
x
③は,点P(-1,2)を通り, 傾きがんの直線を表す。
図から、直線 ③が放物線 ② に第1象限で接するとき,k
の値は最大となる。
② ③ からyを消去して整理すると
x2+2(k-3)x+2k+7=0
このxの2次方程式の判別式をDとすると
D
—-=(k−3)²−1·(2k+7)=k²−8k+2
直線 ③が放物線 ②に接するための条件はD=0 であるか
ら,k-8k+2=0 より k=4±√14
第1象限で接するときのkの値は k=4-√14
このとき、接点の座標は (√14-1, 4√14-12)
<k(x+1)-(y-2)=0は,
x=-1,y=2のとき
についての恒等式になる
→kの値に関わらず定
点 (1,2)を通る。
次に,図から, 直線 ③ が点 (1, 1) を通るとき, kの値は最
<k=4+√14 のときは
第3象限で接する接
なる。
小となる。このとき
y-2
k=
<k=
に代入
1+1
x+1
よって
x=√14-1, y=4√14-12 のとき最大値 4-√14;
x= 1, y=1のとき最小値 -
x,yが2つの不等式 x+y-2≤0, x+4x-y+2≦0 を満たすとき,
y-5
の最
x-2
と最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。
