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SEPT
第5章 整数の性質
86 最大公約数 最小公倍数
(1) 180 84 の最大公約数と最小公倍数を求めよ.
(2)2つの正の整数a,b (a>b) があって, 最大公約数は 14 最
小公倍数は196 である. α, bを求めよ.
(3) 2つの正の整数m,n(m>n) があって, 最大公約数は 5. ま
たmn=300 である. m, n を求めよ.やろ食
精講
最大公約数 最小公倍数は小学校で習っているなじみのある数学用
語ですが、高校になったからといって意味が変わるということはあ
りません。しかし、扱い方が少し高度になります。
(1) 小学校では,右のようなわり算を行って,
最大公約数は 2×2×3=12,
最小公倍数は2×2×3×15×7=1260
と答を求めましたが,ここでは, 素因数分解して, 最大公約数の意味
「2つの数に共通の約数の中で最大のもの」 に従って, 最小公倍数も
「2つの数に共通の倍数の中で最小のもの」 に従って考えます.
(2),(3) 数が具体的に与えられていません. そこで, ポイントにかいてある公
式を利用します. ここが, 少し高度になっているところです.
解答
(1) 180=2²×3²×5, 84=2²×3×7
よって, 最大公約数は, 22×3=12
また, 最小公倍数は
2²×3²×5×7=1260
素因数 2
180
2コ
84
2コ
多い方
2コ
少ない方 2コ
3
2コ
1コ
コ
1コ
5
1コ
0 コ
1コ
7
07
2)180 84
2) 90 42
3) 45 21
15 7
1コ
1コ→2×3® ×5® x 7®
コ 0コ
→ 2®×3D
◆各素因数について指
数が最小のもの
各素因数について指
数が最大のもの
最小公倍数
最大公約数
(2) 最大公約数が 14 だから,a=14c', b=146'
a'b'は互いに素で、α'>' をみたす正の整数) 8
このとき、最小公倍数が196 だから,14q'b'=196①
∴.a'b'=14
143
kot, (a', b')=(14, 1), (7, 2)
(a,b)=(196,14), (98,28)
(3) 最大公約数が5だから,m=5m'n=5n"
m'n' は互いに素で, m'n' をみたす正の整数)
ここで, 最小公倍数を!とおくと
mn=51 が成りたつので160
: 60=5m'n'
よって, m'n'=12
m'n' は互いに素だから
(m', n')=(12, 1), (4, 3)
tot, (m, n)=(60, 5), (20, 15)
注 1 「α, bが互いに素である」 とは, aとbが1以外の共通の約数を
もたないことです。
注m'n') (6, 2) のとき, a=30, b=10 となり, 最大公約数は
5ではなく, 10 になってしまいます。
ポイント
演習問題 86
(6,2) は互いに素で
ないので不適
2つの正の整数a,bの最大公約数がg, 最小公倍数が
のとき
① a=a'g,b=b'g (α' と'は互いに素)と表せ ,
②l=α'b'g, ab=gl が成りたつ
(1) 12,3660の最大公約数と最小公倍数を求めよ.
(2) 2つの正の整数a,b (a>b) があって, 最大公約数は12で最
小公倍数は144 である. α, bを求めよ。
(3) 2つの正の整数m,n (m>n) があって, 最大公約数は4で,積
は 160 である. m, n を求めよ。
第5章
PIC･COLLAGE
