1 2
ZZZ
初項から第210項までの和を求めよ。
解答
指針 分母が変わるところで区切りを入れて,群数列として考える。
分母: 1|22|3, 3, 34, 4, 4,4|5,
1個 2個
3個
4個
第n群には、分母がnの分数がn個あることがわかる。
分子: 12,3|4,5,67, 8, 9, 10|11
分子は,初項 1,公差1の等差数列である。 すなわち,もとの数列の項数と分子
は等しい。
まず,第 210 項は第何群の何番目の数であるかを調べる。
分母が等しいものを群として,次のように区切って考える。
8 9
67
5
10|11
1 | 2
34
12'23'3'
3 4'4'4'
5
第1群から第n群までの項数は
1+2+3+ ････..+n= n(n+1)
=1/√n(n²+1)÷n=² n²+1
2
第210項が第n群に含まれるとすると
(n-1)n <210≤ n(n+1)
よって
(n-1)n<420≦n(n+1)
(n-1)n は単調に増加し, 19・20=380, 20・21=420 である
から ① を満たす自然数nは
n=20UH
また,第 210 項は分母が 20 である分数のうちで最後の数 1/2 ･･20・21=210
である。 ここで,第n群に含まれるすべての数の和は
1/27 12.11/2n(n-1)+1}+(n-1)・1) ÷n
ゆえに, 求める和は
20k2+1
20
2+¹ -12 +21)-(20-21-41 +20)
²²
k=1
2\k=1
.=1445
k=1
[類 東北学院大 ]
......
練習の累康を分母とする既約分数を,次のように並べた数列
③ 30
13
2'4'4'8'
8 8 768.1/16 3 5
う
"
16'16'16'
について、第1項から第100項までの和を求めよ。
1 3 5
いて、
もとの数列の第k項
分子がんである。ま
群は分母が
個の数を含む。
これから第n群の
の数の分子は、
n(n+1)
は第群の数の分
子の和→ 等差数列の
n{2a+(n-1)d}
15
1
16' 32
【類岩手大】
P.460 EX
自然委
(1) 大
料
(2) 1
る
指針
