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重要 例題 60 n=k, k+1の仮定
解答
nは自然数とする。 2数x, yの和と積が整数ならば, x”+y” は整数であること
を証明せよ。2月14
指針 自然数nの問題であるから,数学的帰納法で証明する。
+1
x+y+xy で表そうと考えると
x*+1+y+1=(x*+y*)(x+y)-xy(x*~1+yk-1)
よって、「x*+y^ は整数」に加え、「x-1+y^-1 は整数」という仮定も必要。
そこで,次の [1], [2] を示す数学的帰納法を利用する。 下の検討も参照。
[1] n=1, 2 のとき成り立つ。
初めに示すことが2つ必要。
[2] n=k, k+1のとき成り立つと仮定すると, n=k+2のときも成り立つ。
仮定にn=k, h+1などの場合がある
CHART 数学的帰納法
[1] n=1のとき
出発点も それに応じてn=1,2を証明
x'+y'=x+y, 整数である。
n=2のとき
x2+y2=(x+y)2-2xy で, 整数である。
1,2のときの証明
整数の和差・
[2] n=k, k+1のとき, x”+y” が整数である, すなわち, n=k, k+1の仮定
x+yx+y+1 はともに整数であると仮定する。
n=k+2のときを考えると
x+2+3+2 = (x+1+y+1)(x+y)=xy(x+y)
xC
x+y, xy は整数であるから, 仮定により, x+2+yk+2
も整数である。
合
よって, n=k+2のときにもx"+y” は整数である。
[1], [2] から, すべての自然数nについて,x "+y” は整数で
ある。
n=2のときの証。
整数の和差積は
注意 [2] の仮定でn=k-1, k とすると, k-1≧1の条件から≧2としなければならな
上の解答でn=k, k+1としたのは, それを避けるためである。
n=k, k+1のときを仮定する数学的帰納法
自然数nに関する命題P(n)について指針の [1] [2]が示されたとすると、
