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重要例題 83 折れ線の長さの最小 らの
(a, b)
A(2, 5), B(9, 0) とするとき, 直線 x+y=5 上に点Pをとり,AP+PB を
最小にする点Pの座標を求めよ。
[日本獣畜大)
「基本79
CHART OSOLUTION
導く。
IOITOIO
折れ線の問題には 線対称移動
直線 :x+y==5 に関して2点 A, Bが同じ側にあるから考えにくい。
そこで,直線に関してAと対称な点A'をとると
す。…
AP+PB=A'P+PB>A'B
等号が成り立つのは,3点A', P, Bが一直線上にあるときである。……
ゆえに,直線と直線 A'B の交点が求める点Pである。
うる
31
解答)
字を含ま
使用する。
2点A, Bは直線lに関して同じ側にある。
直線2:x+y=5
や直線2に関して点Pと
点Qが対称→
0 に
関してAと対称な点をA'(a, b)
点で
[1] PQL
[2] 線分 PQの中点が
直線2上にある
A
集0,0
とする。
上にも
AA'1l から
Po
直線上
「には、
上にも
を示 よって
線分 AA'の中点が直線上にあ
や直線 AA'はx軸に垂直
ではないからaキ2
垂直→傾きの積が -1
B
(-1)=-1
6-5
0
2
9
x
a-2
a-b=-3
2
e
動小 ー
8
5+6
=5
2
2+a
は直
るから
にあ
2
よって
a+b=3
ゆえに
A'(0, 3)
2, 3 を解いて
=0
このとき
a=0, b=3
や線分 AA'の垂直二等分
線上の点は,2点A, A'
から等距離にある。
AP+PB=A'P+PB>A'B
『よって,3点A', P, Bが一直線上にあるとき, AP+PB は最
小になる*。
よって AP=A'P
直線 A'Bの方程式は +=1 すなわち x+3y=9 …④
3
*2点A', B間の最短経
路は,2点を結ぶ線分
A'Bである。
x
9
直線 A'Bと直線2の交点を Poとすると,その座標は
x=3, y=2
の, のを解いて
ゆえに
P。(3, 2)
小
(3, 2)
したがって, AP+PB を最小にする点Pの座標は
の
5
5y3
