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22点と直線
例題22]
平面上の放物線y=x2 のx≧0 の部分をCとし, C上の点
P(x, y)と点A(0, α)の間の距離をAPで表す。 また,PがC上を動くとき,
め、そのときのPの座標をαを用いて表せ。
[類 10 秋田大]
脂針点と曲線との距離 AP2=x2+(ya),y=x^ から AP2はyの2次関数とし
AP2 を最小にするPをPoとする。 Poが原点Oと異なるようなαの範囲を求
て表される。 軸の位置で場合分けする。
解答 AP2=x2+(y-a)²=y+(y-α) 2
YA
y=x2/c
=y-(2a-1)y+α²=
+a²= {y-− (a− 1 )² + a— — —
2
A(0, a)
y=x2≧0 であるから, AP2 は a-
1
≦0 のとき
2
y=0で最小となり,a-123 >0のときy=a-2
P(x,y)
O
x
で最小となる。
P。 が原点Oと異なるようなαの範囲は α >
1
2
このとき Po
a-
2
Check
22 (1) 平面上の2点A(1,3),B(6, 1) を端点とする線分AB の垂直二等分
線の方程式を求めよ。
(2)2直線2x+3y+2=0, x+2y+3=0 の交点を通り,傾きが2である直線の
方程式を求めよ。
(3) 座標平面上の3点 (0, 0), (3,3), (1, α) を頂点とする三角形の面積が 9
であるとき,aの値を求めよ。HA
(4) 座標平面上に4点A(a, b), B(-1, 0), C(2, 1), D(0, 2) がある。
[1]点Dが三角形 ABC の重心となるとき,a=,b=1である。
[2] 三角形 ABC において ∠B=90°で,点D が辺 AC上にあるとき,
a=
b=1である
