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礎問
196
第7章 数
128 3項間の漸化式
a=2, az=4, an+2=-an+1+2a (n≧1) で表される数列{an}
がある.
精講
列
(1) an+2-Qan+1=β(an+1- αan) をみたす 2 数α, β を求めよ.
(2) an を求めよ.
a=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は
2次方程式 t^=pt+g の解をα, βとして,次の2つの場合があり
ます。
(I) αキβ のとき
an+2=(a+β)an+1-αβan より
an+2 - Qan+1=β(an+1-Qan) ......①
......②
Lan+2-Ban+1=α(an+1-βan)
①より, 数列 {an+1- αan}は,初項 α2-Qa1, 公比βの等比数列を表すので,
an+1-aan =β"-1 (az-dai)
:.
同様に,②より, an+1-Ban=α"-' (az-βas) ...... ②'
①②' より,
(B-a)an=B-¹(a2-aa₁)-a"-¹(a2-Ba₁)
β”-1 (az-aa) -α"-1 (a2-Bas)
B-a
注 実際には α=1(または β=1) の場合の出題が多く、その場合は階差数
列の性質を利用します. (本間がそうです)
(II) α =β のとき
an+2-dan+1=α(an+1-αan)
an+1-Qan="-1 (az-dai)
つまり、数列{an+1-αan) は,初項a2-αa,公比αの等比数列.
③ の両辺を α”+1 でわって
an
n-1
an+1 an a2-αa1
Q+1
an
Q2
n2のとき,k+1 an) = 2
k=1Q'
k=1
a2aa
a²
(1) an+2=(a+β)an+1-aBan
与えられた漸化式と係数を比較して,
α+β=-1, aβ=-2
..(α,β)=(1,-2), (-2, 1)
(2) (α,β)=(1, 2) として
解
an+2an+1=-2(an+1-an)
an+1 - an = bn とおくと,
bn+1=-26
また, b1=a2-α = 2
n≧2のとき,
n-1
an= a₁ + 2(-2)^-1
k=1
=2+2･・
答
これは,n=1のときも含む.
(別解) (α,β)=(-2, 1) として
an+2+2an+1=an+1+2an
8
.. an+1- 3
ポイント
演習問題 128
..bn=2(-2)^-1
1-(-2)=1/(4-(-2)^-1)
00₂0
-10/201
122
an+1+2an=az+2a よって, an+1=-2an+8
2
3
8
したがって, an-2-272(-2)*-1
3
8
=-2an- a₁-- 3
BEN
|123
a.-(4-(-2)-¹)
an+2 = pan+1+gan 型は、 2次方程式=pt+g の 2
解α,βを利用して、 等比数列に変形し2項間の漸化
式にもちこむ
α=1, a2=2, an+2=3an+1-2am で表される数列{an}がある
をみたす2数α, βを求めよ.
