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•5 最大・最小を候補で求める
a>0 とする.f(x)=x(x-3a)(0≦x≦1)の最大値をαの関数とみてg (a) とおく.
(1) g (a) を求め, ab平面にb=g(α) のグラフの概形を描け.
(2) g(α)の最小値とそれを与えるαの値を求めよ.
最大・最小の候補を比較
閉区間 (a≦x≦βの形の区間)で定義された関
数 f(x) の最大値・最小値は '区間の端点での値'または'極値”のいずれか
である.極値を与えるxの値が定数αの入った式である場合, 式だけで最大最
小を考えるよりも,先に最大値(最小値)の候補となる値('区間の端点での値'
と‘極値')のグラフを描いてしまい,それらを比べる方が見通しがよい.
解答言
(1) f(x)=x(x-3a)2=x3-6ax2+9ax
f'(x) =3x2-12ax+9a²=3(xa)(x-3a)
図1
y=f(x)
4a3
f(a)=4a3, f(3α)=0であり,a>0より
y=f(x)のグラフは図1のようになる.
84
(関大 総合情報)
極
値
区間の端点での値
[極大値を与えるx=αが0≦x≦1に入っている
かどうかで場合分け]
O
a
3a
積の微分法
{g(x)(x)}'
=g(x)h(x)+g(x)h'(x)
を使うと,
f'(x)
=1(x-3a)+x2(x-3a)
図 2
=(x-3a){(x-3α)+2x}
0≦a≦1のとき
YA
YA
=3(x-3a)(x-a)
最大値はf(a)(=4α) f(1)(=(1-3a)2)
15
C
の大きい方 (図2).
a
1
セットで
a 1
1≦a のとき
図3
最大値はf(1)(=(1-3a)) (図3)
YA
ここで
チェリュー(エリー(エ)ギュー(仮)
C: b=4a³ (0≤a≤1)
D: b= (1-3a)2
のグラフを描く.
..
.
(4α-1) (a-1)2=0
0<a<1での, C, D の交点を求めると
4a=(1-3α) 2
4a3-9a2+6a-1=0
O
X
A
la
図 4
b₁
4
(い
C:b=4a3
より (1/4,1/16)
b=g(α) のグラフは,図4の太線部であり,
1/4≦a≦1
g(a)=(41-3a)²/ <a≤1/4, 1≤a
19
D:
1 16
b=(1-3a)2
16
この式は,f (a) = f (1) を変形
したものであるからα=1が解で
あり, (a-1)で割り切れる.
O
11
43
←C,D のうち, 高い方をたどった
ものがb=g(a) のグラフ.
1
(2)図4より,a=
4
のとき,最小値9 (12)
(1/4) 1/16 をとる。
=
