Q
Focus
練習
[104]
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命題と対偶
直接証明するのが難しい場合は、利用して証明する。
(1) もとの命題の対間は、
「整数nについて、
nが3の倍数でないならば、
2は3の倍数でないので、を整数として,
n3k+1 または、n=3k+2
例題104
ついて、次の問いに答えよ、
命題「整数々について、が3の倍数ならば、nも3の倍数である｣ に
(2) 対偶を証明することにより、 命題を証明せよ。
(1) この命題の対偶を述べよ。
n=3k+1 のとき、
n²-(3k+1)ª
=9k² +6k+1
=3(3k+2k)+1
n=3k+2のとき､
n² (3k+2)²
=9k²+12k+4
も3の倍数でない」
3
=3(3k²+4k+1)+1
ここで、3k2+2k, 3k+4k+1は整数であるから,
nは3の倍数ではない.
よって, 対偶が証明されたので、 もとの命題も成り
立つ
命題と証明
*****
n² →nth bn-n²
の方が扱いやすい。
「3の倍数」 は 3k(k
は整数)と表せ、 「3の
倍数でない整数」 は、
3k+1.3k+2 と表せ
る.
第3章
3k² +2ks,
「3k²+4k+1」が整数
であることを必ず書く。
対偶証明法もとの命題のかわりに対偶を証明する
「3の倍数でない整数」 は, 3k-1, 3k+1 (kは整数)と表せる。
このとき, n²=(3k±1)²=9k² ±6k+1=3(3k±2k) +1 (複号同順) となり、3k2k
は整数であるからn²は3の倍数ではないとして示すこともできる.
注》〉対偶証明法は,数学的に明らかな命題や、扱いにくい条件を含む命題などの証明に有効
である.
整数 α, bに関する次の命題の対偶を述べ、対偶を証明することにより、次の
題を証明せよ.
(1) α² が2の倍数ならば, aも2の倍数である
(2) d'+62 が3で割り切れるならば,α, bはともに3で割り切れる
(3) 積αbが4の倍数ならば, αまたは6は2の倍数である
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