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基本例題106 約数の個数と総和
(1) 360 の正の約数の個数と,正の約数のうち偶数であるものの総和を求めよ。
(2) 慶応大]
(2) 12"の正の約数の個数が28個となるような自然数nを求めよ。
(3)
15個である自然数n を求めよ。
56の倍数で,正の約数の個数が
指針▷ 約数の個数, 総和に関する問題では,次のことを利用するとよい。
自然数Nの素因数分解が N = pager...... となるとき
正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1)......
E*** (1+p+p²+...+pª)(1+q+q²+···+q')(1+r+r² + ··· + pc )......
(1) 上の Nが2を素因数にもつとき,Nの正の約数のうち偶数であるものは
2°•q°•yc......(a≧1,b≧0,c≧0, …;g, r, … は奇数の素数)
-1+ の部分がない。
『1
- p, q, r,
【CHART 約数の個数, 総和 素因数分解した式を利用
解答
(1) 360=2.32･5であるから,正の約数の個数は
(3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2=24(個)
また,正の約数のうち偶数であるものの総和は
「!」
と表され,
その総和は (2+2²+…+2ª)(1+q+q²+···+q³)(1+r+r²+...+rº)...
を利用し, nの方程式を作る。
(2)
(3) 正の約数の個数15を積で表し, 指数となる a,b,
の値を決めるとよい｡
15 を積で表すと, 15･15･3であるから, nは15-11-1または p-13-1の形。
の形で表される。
468 基本事項
p14 または p q (p, g は異なる素数)
ｶﾞqrの正の約数の個数は (a+1)(b+1)(c+1) (p,g,r は素数)
15 (=15･15･3) であるから,nは
の正の約数の個数は
は素数。
(2+22+2)(1+3+32)(1+5)=14･13・6=1092
(2) 12"=(2･3)"=227.3” であるから, 12" の正の約数が28個 (ab)"=a"b", (a)"=d"
であるための条件は
(2n+1)(n+1)=28
のところを2m n とし
2n²+3n-27=0
ゆえに
(n-3)(2n+9)=0
よって
nは自然数であるから n=3
(3)
素数のうち、
偶数は2の
みである｡
積の法則を利用しても求め
られる (p.309 参照)。
たら誤り。
15･1から
5.3 から
<p=2, g=7
15-11-1
-13-1
は 56の倍数であり, 56=2.7であるから, nは²の形 14 の場合は起こらない。
で表される。したがって, 求める自然数nは
n=24.72=784
EE
a
1
N
A
1
