7 [2018 岡山理科大]
関数P (x) == sinx+sin" (x+a)+sin"(x-a) について,次の問いに答えよ。
Sac であり, n=1,2,3とする。
(1) すべてのxに対してP(x)=0となるの値を求めよ。
(2) を (1) で求めた値とするとき, Pa(x) が定数になることを示せ。 また、その値を
求めよ。
(3) を (1) で求めた値とするとき, Px) = 0 となるようなxの値を求めよ。
税
(1) P(x) =sinx+sin(x+a) +sin(x-a)
0≦x≦* を満たすすべてのxでP{(x)=0となるので、x=1でも成立する必要が
+
+.
1
ある。よって、P(12) in // sin(+α) + sin (一)
=1+cosa + cosa
=1+2cosa
1
1+2cosa=0より, cos4=
2
逆にこのとき,
2
P(x)=sin x + sin(x+3)+sin(-)
= sinx +(sinxcosf* + coussin for)+(sin.xcos for - cosxsin-2a)
-
+(1/2sin+cosx)+(1/2sing
x
√
cosx)=0となり成立
よって、a=1/23
(2) as / 木のとき
Pa(x)=sin*x + sin(x+3)+sin(x-3)
=sinx + sinx + cosx + sinx - cosx)
3
=122 (sinx+cos'x)=2/2
したがって,a=1/2のときP2(x)は定数であり
(3)a=1/2のとき
P₂(x)=sin'x + sin(x+x)+sin(x-3)
P2(x)=1/2/2
=sin'x +(1/2sinx +
2
-COS X
✓ cos x)+(-2½ sin x - ✓ cos.x)"
√3
3 sin'xosinaco's
=24sin' xsinx(1-sin'x) =2sinx (4
) = sinx(4sinx – 3)
よって, P3(x)=0のとき
sinx=0, ±
√字
02xから
x=0,3
T, 2
2
