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基本例題 22 条件つきの等式の証明
a+b+c=0のとき, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
(1) a²+26²-c²+3ab+bc=0
(2) a³ + b³ + c³ = -3(a+b)(b+c)(c+a)
指針a+b+c=0は条件式であるから, 文字を減らす方針で進める。
すなわち, c=-a-b[=-(a+b)] として, cを減らす。
【CHART 条件式 文字を減らす方針で使う
解答
(1) a+b+c=0より, c=-(a+b) であるから
a²+26²2-c2+3ab+bc=a²+26²-(a+b)2+3ab-b(a+b)
=a²+26²-(a²+2ab+b²)
+3ab-ab-b2
=0
(2)a+b+c=0より, c=-(a+b)であるから
a³ + b³ + c³+3(a+b)(b+c)(c+a)
このとき, a,bは自由に動くことができて, この問題は, a,b,cの3文字から
2文字についての等式の証明になる。
(2) 前ページ例題21の指針3の方針。
A=B⇔A-B=0 から,a3+b+c3+3(a+b)(b+c)(c+α)=0を証明する。 HAL
=a³+b³—(a+b)³ +3(a+b)(b¬a−b)(-a-b+a)
=a³+b³-(a³+3a²b+3ab²+b³)+3ab(a+b)
=-3a²b-3ab²+3a²b+3ab²
=0
したがって
a³+b³+c³=−3(a+b)(b+c)(c+a)
本
..40 基本
0
a
b
a
b
(2)
答
b
<c=-a-b=- (a+i) えに
<{-(a+b)}^=(a+b)
=(a+b)-3ab(a+b
を利用してもよい。
につ
a
b
(a+b) を展開せずにゆえ
a³ +6³
検討 条件式を丸ごと利用する
a+b+c3=3abc すなわち+b+c-3abc=0を証明すればよい。 ここで, p.10で取りチー
a+b+c=0 より, a+b=-c, b+c=-a,c+α=-bであるから, (2) では
た因数分解の公式5を利用すると,次のように、条件式a+b+c=0を丸ごと代入できる。
a³ + b³ + c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)-0
こ
考
