y=
9
が有理数となって矛盾することか
らわかります。これを利用するには、与式を無理数を含む部分と含まない
(x)
部分に分けます。
0xy平面の2直線のなす角をとらえるには,
傾きとtan の加法定理を利用します。 まず, tan
の定義を思いだしておきましょう. 座標平面で
点A(1.0) が原点を中心に角だけ回転し点
P(x, y) になるとき (動径 OP の角が という
Ay
P
ですから、否定的にしか表現で
麺の証明は
-C (否定
「〜でない」ことが簡単に背定で表現できないことが
. x+2y-2-(x+2)√3 0
ことが多く、青
xyは整数(有理数)では無理数だから
理法によるのが普通です. したがって,「無理数であることの証明は、 有理
数であると仮定して矛盾を導く」 方針をとります.
無理数についての問題を解くには次のことをよく用います。
「αが無理数 p q が有理数のとき
p+ga=0⇒p=9=0」
これは90と仮定すると,α=P
x+2y-2=x+2=0 ..(x,y)(22)
(2)(i).mがいずれもy軸でないときを考える。このとき、この傾きを
Pとし,Iが通る原点以外の格子点を(a, b) とすると,a0 で
b
P=
(有理数)
a
である.同様にして,m の傾きをqとするとgは有理数である。
lm のなす角が60°であると仮定する。 このとき1.mx軸の正方向
からの回転角をそれぞれα,βとし、β-α=60°としてよい。 すると
tano = p, tanβ=q
であり,
8
tan (β-α)=tan 60°
tan β tan or
1 + tan βtan r
= √√√3
O
9-P
1+gp
= √3
①
こと)。
tan6=2=(OPの傾き
x
だから傾きとは tan なのです. またこれからtan (0+π) tan もわかり
ます。
1. は直交しない (60° をなす)のでpgキー1であり, ①の左辺は、 分子分
母ともに有理数だから有理数であり, が無理数であることに反する.
(またはmy軸のとき、 1.m のなす角が60° であると仮定すると,
tan 30°= により、他方の直線は y=
この直線が通る
xとなり,
原点を通る直線1, 2 があり、 傾きをそれ
ぞれm1, m2 とします.x軸の正方向
からの回転角をそれぞれ 01, 02 とすると, 4 か
らんへ回る角はB2-01 で
原点以外の格子点を (c.d) とするとd ¥0でV3 = となり,vが無
理数であることに反する.
A
以上から題意が示された.
(フォローアップ)
tanf=tan (02-01)=
tan ₂-tan 01
1 + tan O2 tan 01
=
m2-m
1+m2m1
(ただしmm2 キ-1)
1. 一般に,xy 平面の2直線のなす角の公式は次のようになります
「xy 平面において交わる2直線y=mx+m,y=m2x+n2 のなす角を
(001)とすると,
解答
(1) 直線が通る格子点を (x, y) とすると,
x+1+√3
.
y=
yo-x+1+v
2
mm2-1 ならば
mm2 キ-1ならばtan0=
my-m2
1+m1m2 50
39-6
有理数 無理数, 2直線のなす角
6 座標平面上で,x座標, y 座標がともに整数である点を格子点と
いう. 次の問いに答えよ. ただし, √が無理数であることを証明な
しに用いてもよい.
1
(1) 直線 y=-
x+1+√3が通る格子点をすべて求めよ.
[山口大〕
以外にも格子点を通るとき, 1, m のなす角は, 60°にならないこと
(2) 原点を通る2直線1, mについて考える. 1, m がそれぞれ原点
を証明せよ.
PICCOLLAGE
(イ)「有理数とは整数 p, q (0)
と表される数」のことです(ここで
約分して約分数にしておくことも多い) これはいいですね。 具体
アプロチ
