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重要 例題 121
不定積分の部分積分法 (3) (同形出現)
1=Se*sinxdx, J=Se*cosxdx であるとき
(1) I=e*sinx-JJ=e*cosx+1 が成り立つことを証明せよ。
(2) I, J を求めよ。
基本 112 113
CHART & SOLUTION
積の積分
→
部分積分
sin, cos はペアで考える
(1) e*sinx=(ex)'sinx, excosx= (*)' cosx と考えて部分積分法を利用。
(2) (1) I, Jについての連立方程式を解く。
解答
(1) Se*sinxdx=f(e*)'sinxdx=e*sinx-fe* cosxdx
部分積分法
Se*cosxdx=f(ex)'cosxdx=e*cosx-Sex(-sinx)dx 部分積分法
J=excosx+I
①
(2)
I=e*sinx-excosx-I
すなわち I=e*sinx-J
(2) ①,② からJを消去して
① ② から Iを消去して
ゆえに、積分定数も考えて
I=1/2e*(sinx-cosx)+G
J=excosx+exsinx-J
別解 (1) (e*sinx)、
=e*sinx+excosx,
(excosx)'
=excosx-esinx
これらの両辺をxで積分す
ると exsinx=I+J
excosx=-I+J
ゆえに,与式が成り立つ。
INFORMATION
ze*(sinx+cosx)+C, mannia E)
同形出現の部分積分
例えばIのみを求める場合は,部分積分法を2回用いて, 同じ形を作るよう工夫する。
x-excosx-fe*(-sinx)dx}
Se*sinxdx=e*sinx-Sexcosxdx=e*sinx-
-Se*sinxdx
=exsinx-excosx
■同形出現
積分定数も考えて
Se*sinxdx=1/2e*(sinx-cosx)+C
r
のように計算してもよい (Jについても同様)。
