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基本 例題 31
2つの無限等比級数の和
00000
無限級数 (1-2)+(3-2)+(323-21)+
の和を求めよ。
p.54 基本事項 4.基本26
CHART & SOLUTION
Hom
C
無限級数
まず部分和 Sn
この数列の各項は() でくくられた部分である。 部分和 Sm は有限であるから, 項の順序
を変えて和を求めてよい。
注意 無限 の場合は,無条件で項の順序を変えてはいけない (重要例題 32 参照)。
an
別解 無限級数 24, 20mがともに収束するとき
n=1
n=1
00
解答
n=1
bm が成り立つことを利用。
n=1
n=1
初項から第n項までの部分和をS とすると
(+++) (+
++
S=(1+/+/3/3+
1-(1)/1-(12)
1-1
=1
1
1-
2
lim S= -231-1-1/2 であるから,求める和は 1/2
12-00
別解
(1-1)+(1/3-2/2)+(1/2-2/2)+(1/2)
1
Σ3-1
n=1
n=1
-は初項1,公比の無限等比級数であり,
3
21/1は初項 1/2.公比 1/2の無限等比級数である。
← S は有限個の和である
から, 左のように順序を
変えて計算してもよい。
n→∞の
[inf.
→ 0.
0
無限等比級数の収束条件は
a = 0 または |r|<1
a
n
公比について、1/31
12 <1であるから,これらの無
限級数はともに収束して、それぞれの和は
このときは 1-r
←収束を確認する。
1
3
n=137-1
2
1
23
1
n=12n
3
1
|1|2
00
n=1
on-1
よって (3/12/28-1/2-1-1/2
PRACTICE 31°
次の無限級数の和を求めよ。
(1) (1+1)+(1/3+3)+(3/3+3)+
32-2 33-22 34-23+....
(2)
+
4
+
43
