第2章 数と式 39
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恒等式…整式の次数の決定
[解法のポイント
(2)f(x)の次数 n (n≧3)として,条件式の両辺の次数を比較する.
【解答】
&
f(x²)=x³f(x+1)-2x+2x².
(1)(*)において,r=0, 1, -1 とすると,
よって,
f(0) = 0,
f(1)=f(2)-2+2,
f(1)=-(0)-2+2.
f(0)=f(1)=f(2) = 0.
1
…(*)
(2)f(x)が定数であると仮定すると,(*)の左辺は定数,右辺はxの4次式と
なり(*)は成り立たない.
よって, f(x)は定数ではない.また, (1) の結果から因数定理により,
f(x) は x, x-1, x-2 を因数にもつ。
そこで, f(x) xn次式(n≧3) とすると, f(x+1), f(x2)はそれ
ぞれのn次, 2n 次式となる.
(*)の両辺の次数を比べて,
2n=n+3.
n=3.
よって, f(x)の次数は3である.
(3)1,2,
f(x)=ax(x-1)(x-2)=(a+0)
とおける.これを(*)へ代入して,
ar2(2-1)(x-2)=x3a(x+1)x(x-1)-2c+2c2.
Max-3ax+2ax²=ax=(a+2)x+2x².
1) 1+1 **
Jei
これがェの恒等式であることより, 両辺の係数を比較して,
|3a=a+2,
2a=2.
よって,
これ
a=1.
f(x)=x(x-1)(x-2)
=x³-3x²+2x.
