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重要 例題 30 不等式の証明の拡張
次の不等式が成り立つことを証明せよ。 一言
(1) a≧b,x≧y のとき (a+b)(x+y)=2(ax+by)a+b+本例
(2) a≧b≧c, x≧y≧z のとき (a+b+c)(x+y+z)≦3(ax+by+cz)
指針 (1) 大小比較は差を作る
として証明に利用する。
(2) (1) と同じように大小比較をしてもよいが, (1) と (2) は文字数が違うだけで大
似た問題は結果を利用の方針でいく。
を
解答
(1) a≧b,x≧y であるから
2(ax+by)-(a+b)(x+y)
そこで、
本問では, (2) を証明するために, (2) の簡単な場合の設問 (1) がある。すなわち、
ヒントになっているともいえる。
よって
条件のa≧b,x≧y を,それぞれa-b≧0
PALOE, TO2
=(a-b)(x-y)≥0)
すなわち
練習
20
=ax+by-ay-bx=a(x-y)-b(x-y))
0≤a-b≥0, x−y²0
よって
2(ax+by)≧(a+b)(x+y)
①号は α = b または
(21)と同様にして、a≧b≧c, x≧y≧zであるから合員のとき成立。
(2) (右辺) (左辺) の等
-
b≧c,y≧zから2(by+cz)=(b+c)(y+z)
a≧c, xzから2(ax+cz)=(a+c)(x+2)
①,②,③の辺々を加えて
いくと、差は
2(ax+by)+2(by+cz)+2ax+cz)
z (a+b)(x+y)+(b+c)(y+z)+(a+c)(x+2),
(1) 次の不等式を証明せよ。
4(ax+by+cz)≧(a+b+c)(x+y+z)+(ax+by+cz)
(a+b+c)(x+y+z)≤3(ax+by+cz)
²+h²+²> gh+ het ca
......
......
200
=(a+b)(x+y)+b(y+z)+c(y+z)+α(x+2)+c(x+2) 注意
=(a+b)(x+y)+(a+b)z+c(x+y+z)+(ax+by+cz) (2)
の不等式について、
=(a+b)(x+y+z)+c(x+y+z)+(ax+by+cz)
=(a+b+c)(x+y+z)+(ax+by+cz)
......
3
(a−b)(x-y)
164-614-1312101 +(6-c)(x-2)
6は正
立つの
$800
(
辺) (左辺)
(1)
a+
a.
a do-do
[a=bl&x=y=+
「b=c またはy=z」か
「c=α または z=x」の
等号が成り立つ。よって
a=b=c または x=y=1
等号の成立条件。
