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例題 36
xの2次式の因数分解
(1) yについての2次式9y²-12y+16-4k が完全平方式となるような,
実数の定数kの値を求めよ。
例題
35
思考プロセス
x2+xy-2y2+4x+5y+kがx,yの1次式の積となるように定数k
の値を定め, x,yの1次式の積の形で表せ。
完全平方式・・・ (整式) の形で表すことができる整式
(2)
|= (x+Oy+△)(x+y+∇)・･･(*) となってほしい。
2次式の因数分解は、 2次方程式の解を利用せよ
ReAction
1つの文字に着目
x に着目すると
xについての方程式
の解x=yの式,
=x2+(y+4)x- (2y²-5y-k)
よって
= 0
yの式
解 (1) 9y2-12y+16-4k=0 の判別式をDとすると､ 左辺
が完全平方式となるための条件は D = 0
= (-6)² — 9(16-4k) = 36k — 108
xについて解くと x=
ただし
36-108 0 より k=3
(2) x2+xy-2y2+4x+5y+h=0 とおいて, x について
整理する
x2+(y+4)x - (2y2-5y-k)= 0
と因数分解される。
(*) のようになるのは,どのような解をもつときか?
_y-4±√D1
2
|= (x-yの式)(x-
D1 = (y+ 4)2+4(2y2-5y-k)
=9y2 -12y+16-4k
x2+(y+4)x -(2y2-5y-k)
-y-4+√√D₁
2
=(x-
これがx,yの1次式の積となるための条件は, D1 がy
についての完全平方式となることである。
このとき (1) より k=3
なぜ?
k=3のとき, D1 = (3y-2)2 であるから
x2+(y+4)x - (22-5y-3)
x
-y-4-√√D₁
2
例題 35
={x-y-4+(3y-2)
v-2)}{x-y-4-(3y-2)
2
(3-2)}
={x-(y-3)}{x-(-2y-1)}
=(x-y+3)(x+2y+1)
Lyの式
day' + by + c が完全平方
式となる。
⇔ ay²+by+c = 0 が
重解をもつ。
⇔ 判別式 D = 0
D1 はこのxについての
2次方程式の判別式であ
る。
ax²+bx+c=0 の解を
α, βとすると
ax²+bx+c
章 3 2次方程式
= a(x-a)(x − B)
h=3のとき
D1=9y2-12y+16 -4k
=9y2-12y+4
= (3y-2)2
