1辺の長さ3の正三角形 ABCの辺 AB上の1点を Pi とし,
AP,=2 とする。P」から辺 BCへ垂線 P,Q」を下ろし,Qiから辺
CA へ垂線QiR」を下ろし, R」から辺 ABへ垂線 R,P2を下ろす。
P2から更に同じ操作を繰り返してQ2, R2, P3, Q3, Rg, … と
する。線分 AP,の長さを求めよ。
81
解答 AP,=anとおくと
「=x
A
an+1
BQ,-r.-3-APJ--4)
CR,=CQ.=3-BQ.)
1
BQ,=;BP,=(3-AP.)
(3-am)
Pn+1)
dn
AR。
1
1
3
2
1
(3+a)
ニ
ニ
2
B Q
C
=AR,=3-CR)
APル+1
三
8
よって =9-4)
1
an+1
8+S
8
これを変形すると
+68=1+
Qn+1-1= -
a」=AP」=2 であるから
a」-1=2-1=1
1
8
ゆえに,数列 (anー1} は初項1, 公比
の等比数列で
8
4,-1=1(-})
1\n-1
8
-9
n-1
したがって aォ=
すなわち AP,=
8
1\n-1
+1
+1
ニ
