基本例題 119 an+1= 型の漸化式
[13]
a₁ =
an+1=
an
4an-1
指針 漸化式αn+1=
解答
an
pan+q
① 漸化式の両辺の逆数をとると
an
panta
によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
[類 早稲田大〕 基本 116
21=
-=b" とおくと bn+1=p+qbn
an
an
4an-1
・のように,右辺の分子が α の項だけの場合の解法の手順は
【CHART 漸化式 αn+1=
bn+1=●bn+▲の形に帰着。 ..........
p.560 基本例題116
また, 逆数を考えるために, an≠0 (n≧1) であることを示しておく。
したがって an=
b が求められる。
と同様にして一般項
an
pantq
-=p+g
an
an+1
an+1=
①とする。
① において, an+1=0 とすると α = 0 であるから, α = 0 とな
るnがあると仮定すると
an-1 = an-2=······= α
= 0
ところが α=1/13 (0)であるから,これは矛盾。
よって, すべての自然数nについて α=0 である。
1=4
1
① の両辺の逆数をとると
an+1
bn+1=4-bn
両辺の逆数をとる
-=b" とおくと
an
これを変形すると
また
b₁-2= 2=5-2=3
a₁
ゆえに, 数列{bm-2} は初項3,公比1の等比数列で
b^2=3.(-1)-1 すなわち b = 3.(-1)"'+2
bn+1-2=-(bm-2)
1
1
bn 3.(-1)^'+2
何の式
an 05
an-1=0
これから
an-2=0
以後これを繰り返す。
逆数をとるための十分条件。
1
4an 1
an+1
an
7 特性方程式
α=4-α から α=2
<bm= という式の形から
an
bn *0
