数学 軌跡 反転 この問題を複素数を利用して解く方法を教えてください

184 重要 例題 116 反転 OP・OQ=(一定) の軌跡 00000 |xy平面の原点を0とする。 xy 平面上の0と異なる点Pに対し, 直線 OP 上の 点Qを,次の条件 (A), (B) を満たすようにとる。 (A) OP・OQ=4 (B) Q は, 0 に関してPと同じ側にある。 点Pが直線x=1上を動くとき,点Qの軌跡を求めて、図示せよ。 〔類 大阪市大 指針 求めるのは、点Pに連動して動く点Qの軌跡。 基本110 連動形の軌跡 つなぎの文字を消去して,x,yの関係式を導く P(X, Y), Q(x, y) とすると, 2点P, Qの関係は 点Qが半直線 OP 上にある⇔ X = tx, Y = ty となる正の実数 tが存在する このことと条件(A) から, tを消去して,X,Yを x, yの式で表す。 そして、点Pに関 する条件 X=1より, x, yの関係式が得られる。 なお, 除外点に注意。 点 Q の座標を (x, y) とし, 点Pの座標を (X, Y) とする。 解答 Qは直線OP 上の点であるから Q(x,y) P(X, Y) X=tx, Y=ty (tは実数) ただし、点Pは原点と異なるから t=0, (x, y)≠(0, 0) 更に, (B) から, t>0である。 x2+y2 参考事項 反転 表す ※定点を中心とする半径r (r>0) の円がある。 点を通る直 に, 0と異なる点P をとり, 半直線OP 上に点P' を OP・OP'= によって定める。 このとき,点Pに点P' を対応させることを といい,点を反転の中心という。 また、点Pが図形F上にあるとき, 点P' が描く図形F' をF 反形という。円や直線の反転に関しては,次のような性質が (1)定点 0 を通らない直線の反形は, 0を通る円にな (2) 定点を通る円の反形は, 0 を通らない直線にな (3) 定点を通らない円の反形は, 0 を通らない円に [(1)の証明] O を通らない直線を l とする。 0から lに下ろした垂線と l との交点をP。 とし, Poを反転した 点をP とする。 また l 上のP。 以外の点をPとし,Pを反転した点をP'とする。 OPOP=OPOP' より, OP: OP'=OP : OP であるから、 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなり OPPOP'P よって ∠OP'P'′ = ∠OPP=90° したがって, P'は線分 OP を直径とする円を描く。 ただし, OP'>0であるから, 点0は除く。 [(2) の証明] 線分 OP。 が円の直径となるように、点Po をとり, P 反転した点をP とする。 また, Po以外の点Pを反転した点を (A)から √x2+y2√(tx)2+(ty)2=4 ゆえに t(x2+y2)=4 よって t= 4 x2+ye したがって X= 4x x2+y2. 4y Y= tを消去する。 とすると, (1) と同様にして 4x 点Pは直線x=1上を動くから =1 x2+y2 ゆえに y X=1 に X= 代入する。 4x x2+y2 を 線分OP が直径であるから よって (x-2)'+y2=4 2- したがって,求める軌跡は 中心が点 (2,0), 半径が20円。 0 12 14 x ただし, (x,y)≠(0,0)である から, 原点は除く。 -2- 図示すると、 右図のようになる。 x2+y2-4x=0 注意 本間は、反転の問題 である。 反転については, 次ページ参照。 OPPOP'P ∠OPP=90° よって,∠OP'P'=90°から、点P'は,点P を通り OPに垂 な直線上を動く。 [ [3] の証明] 右の図のように、線分 P.P が円の直径 となるように、点Po, P1 をとり, Po, P, を反転し た点をそれぞれP, P' とする。 また, Po, P, とは異なる, 0 を通る直線と円との 交点をPとし,Pを反転した点をP'とする。 (1)と同様にして AOP POO PC 0 Po

(4)でなぜ-3(-3)ⁿ‐¹すなわちａ=(-3)ⁿになるのでしょうか？

めよ。 また,第6項を求めよ。 (2)* 初項1, 公比 16 4 316 196 16 256 224 024 An = 1 · (-4)" | (-4) " -1)] ab 1024 (4) -3, 9, -27, 81, .. n-| 公比 3 an=-3.(-3)m-l =-3(-3) すなわち an=(-3) a6=729

(1)のxの10-2r乗はなぜ10-2r乗をしなければならないんでしょうか。また他も同様に分かりません。教えて頂けますでしょうか🙏

8 第1章 式と証明 TRIAL B 11 次の式の展開式において, [ ]内に指定された頃の係数を求めよ。 (1)(3x2+1)[x] *(2) (2x-y2) [xy] (3) (2x-3.x) [x] 例題 研究 (a+b+c) の展開式

なぜ1も範囲に含まれるのですか？1だったら0には収束しなくなってしまうのではないのですか？

漸化式できまる数列の極限 II 2 無限数列{a}を(&l an2-1 ay=c, an+1 = n x (Izu) | で定める。ここでcは定数とする. (1)c=2のとき,一般項 an を求めよ. 示し >0 (2)c≧2ならば, lima となることを示せ. n→∞ = (3)c=√2 のとき, liman の値を求めよ. n→∞ のと い (徳島) [千葉大]

数IIです。 この問題の解き方と答えを教えて頂きたいです🙇‍♀️

8 xについての多項式 6x+x3-ax2+2x+1を2x2+x+1で割ると,商 が bx2-x-3 で, 余りがcx+dとなるように, 定数a, b, c, d の値を 定めよ。

数Bの数列です。なぜ171になるのか教えてください

(3) 初めて500より小さくなるのは第何項か。 - 3n+10-500 -3n2-510 h > 170 h =171 171項 170項

(2)ってxでくくらなくていいんですか？

e 6 次の多項式を[]内の文字について降べきの順に整理せよ。 (1)* 2x2 +3y2-4xy+7x-5y-6 (2)* x3 -xy+xy2-2xy+2xy2-2y (3)* a³-263 +3c3-a2b+ ac² - 3a²c+2abc (4) 3ax²-2a2x+a³-a2x-3a³ +ax² 3333 [y] [x] [a] 1379 [x]

(2）教えて欲しいです

4 【多項式の次数】 次の多項式の[ ]内の文字に着目したときの次数と定数項 を答えよ。 □(1) 5x2+26x-ab [x], [a] (2)*3a2b3-4ab2+2a2+1 [b], [a b] (3) ax³-3bxy+2cxy2-y³-5abc [x], [xy] p.9 例 4 p.94

（2）の途中式を教えてください🙇🏻‍♀️՞ 答えはx²－3x＋1です A＝BQ＋Rの形まで持って行けるのですがその後どうなるか分かりません。

✓ 27 次の条件を満たす多項式を求めよ。 (1) 2x2-1で割ると, 商が3x2+2x-4, 余りがx+3になる多項式 (2) x4-3x3+2x2-1 を割ると, 商がx2+1.余りが3x-2になる多項式 SE

線で引いたところをなぜ（x➕y）（x➖y）としないんですか？

y+4 -3y+2 -2y+6 (2) ab+ab+a+b-ab-1 =ba²+(62-b+1)a+b−1 =(a+b-1)(ba+1) =(a+b−1)(ab+1) 1 b-1b-b b b-1 1 ← αについて b-b+1 a²b+ab²+a+b−ab−1=ab(a+b)+a+b−ab−1 =(a+b)(ab+1)-(ab+1) =(a+b-1)(ab+1) 練習 次の式を因数分解せよ。 ③ 18 (1) ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc (1) (C)=(b+c)a²+(62+3bc+c²)a+bc(b+c) ←項を組み 通な式が現 り出してい (2) a(b-c)+b(c-a)+c(a ←aについ =(a+(b+c)}{(b+c)a+bc} =(a+b+c)(ab+bc+ca) b+c →b2+2bc+c² 1 b+c bc b+c bc(b+c) bc b²+3bc+c² (5)=ab(a+b+c)-abc+bc(a+b+c)-abc +ca(a+b+c)-abc+3abc =ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c) ←式の形 で,各項 えて引 える。 6y+8 =(a+b+c)(ab+bc+ca) y-1 (2) (5)=(b-c)³a+b(c³-3c2a+3ca²-a³) 5y+7 +c(a³-3a2b+3ab2-63) =-(b-c)a³+((b-c)³+3bc(b-c)}a-bc(b²-c²) =-(b-c)a³+(b-c){(b-c)²+3bc}a-bc(b+c)(b-c) =-(b-c)a³+(b-c)(b²+bc+c²)a-bc(b+c)(b-c) =-(b-c){a³-(b²+bc+c²)a+bc(b+c)} =-(b-c){(c-a)b²+(c²-ca)b+a(a²-c²)} =-(b-c){(c-a)b2+c(c-a)b-a(c+a)(c-a)} =-(b-c)(c-a){b²+cb-a(c+a)} tak. ←6-1 ← 整理 =-(b-c)(c-a){(b-a)c+b²-a²} =-(b-c)(c-a)(b-a){c+(b+a)} =(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) 練習 次の式を因数分解せよ。 ← 整理 ③19 (1)x+3x²+4 (2) -11xy²+1+ (3) x-9x+16y (1) x+3x²+4=(x+4x²+4)-x²=(x²+2)²x² ={(x²+2)+x}{(x²+2)−x} =(x²+x+2)(x²-x+2) (4) ← (2) x-11x2y+y4=(x²-2x²y²+y4)-9x²y² = (x²-y²)2- (3xy)²← ={(x2 y2)+3xy}{(x²-v²)-3xy} =(x²+3xy-y²)(x²-3xy-y²) (3) x-9x2y²+16y={x*-8x²y²+(4y²)²}-x²y² =(x²-4y²)-(xy)² +3,lic² - (³) + h (C²-³ c²α ·³ cα² -α″) ((x+