基本例題69 平面に下ろした垂線 (1)
17 00000
空間において, 3点A(5, 0, 1),B(4, 2, 0), C(0, 1,5) を頂点とする三角形
ABCがある。 原点O(0, 0, 0) から平面ABCに垂線を下ろし, 平面ABCとの
交点をHとするとき, Hの座標を求めよ。
基本 67
指針 点Oから平面ABCに下ろした垂線の足に対して,
大点は平面ABC上にあり,
ととらえて考える。
10×120×HAO.
直線 OH は平面ABCに垂直であるから, 直線 OH は平面 ABC
上のすべての直線と垂直である。
よって
ゆえに
よっては OH⊥AB, OH LAC
ゆえに OH･AB=0, OH･AC=0
解答
AB=(−1, 2, −1), AČ=(−5, 1, 4)×0+0×$+(1−)×(1
点Hは平面ABC上にあるから, AH=sAB+tAC (s, t は実
数) (*) とおける。
ゆえに OH OA+AH
右上の
=OA+sAB+tAC
=(5,0,1)+s(-1, 2, -1)+t(-5, 1,4)
①
OHLAB, OHLAČ
OH」 (平面ABC) であるから
OH⊥AB から OH･AB=0
よって
ゆえに 2s+t=2
OHACから
=(5-s-5t, 2s+t, 1-s+4t)
-(5-s-5t)+2(2s+t)−(1¬s+4t)=0
s+14t=7
- PI=.
......
OH･AC=0
h=-5(5-s-5t)+1・(2s+t)+4(1-s+4t)=0
② ③ を解いて
......
かつ,直線OHは平面ABCに垂直である
S=
7
9
よって, ① から
KOOTUSTE
t=
9
H(2, 2, 2)
......
4
9
mx
C
(8 0 I-
ZA
JUAN C
BD
HO
重要 71
CA
H
OH =LOA+mOB+nOC,
け+m+n=1 として考えても
よい。
B
(HAL)=(A)+(8A)+(ADA)
すものであり､
y
TOATE CA
8 8
90/1 0 2) B(2 1 (0) CU C
Hote
FORSERORTE 3
