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数学 高校生

どうして、方程式が実数解を持つようなkの値を求めるために、複素数の相等という解法を用いるのですか?

68 2 重要 例題 43 虚数を係数とする2次方程式 000 の方程式 (1+i)x2+(k+i)x+3+3ki = 0 が実数解をもつように の値を定めよ。 また、 その実数解を求めよ。 CHART 解答 SOLUTION 2次方程式の解の判別 判別式は係数が実数のときに限る。 MOITULO 実物 D≧0 から求めようとするのは完全な誤り (下の INFORMATION 参照)。 実数解をαとすると (1+i)ω2+(k+i)a+3+3ki = 0 基本 この左辺を a+bi (a, b は実数) の形に変形すれば, 複素数の相等により a=0, 6=0 ←α, kの連立方程式が得られる。 方程式の実数解をα とすると (1+i)a2+(k+i)a+3+3ki=0 整理して (a2+ka+3)+(a2+α+3k)i=0 α,kは実数であるから, a2+ka+3,a2+α+3k も実数。 (k-1)a-3(k-1)=0 (k-1)(a-3)=0 よって a2+ka+3=0 ...... ① α2+α+3k=0 ...... ② ①② から ゆえに よって k=1 または α=3 [1] k=1 のとき ! なぜ (S-)&+n)e=1-e-s x=α EXERCISES A 33 次の2 を代入する。 ◆a+bi = 0 の形に整 (1) 2 (3) 342 次の (1) (3) 35③ (1) ■この断り書きは重B 363 ◆ 複素数の相等。 ◆ α2 を消去。 infk を消去すると α-22-9=0 が得られ 1037 ①,② はともに2+α+3=0 となる。 因数定理 (p.83 基本事項 を利用すれば解くこと きる。 c1 0>(S- これを満たす実数 αは存在しないから,不適。 ◆D=12-4・1・3=-11 03 [2] α=3 のとき ① ② はともに 12+3k=0 となる。 ゆえに k=-4 >0 ①:32+3k+3=0 103 ②:32+3+3k=0 [1], [2] から, 求めるんの値は 実数解は k=-4 0> x=3 INFORMATION 2次方程式 ax2+bx+c=0 の解を判別式 D=62-4ac の符号によって判別できる のはa,b,c が実数のときに限る。 例えば, a=i, b=1,c=0 のとき 62-4ac=1>0 であるが, 方程式 ix²+x=0の解 ■はx=0, iであり,異なる2つの実数解をもたない (p.81 補足参照)。 H

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数学 高校生

なぜ分母を払う必要があるのですか? 右辺を通分して、恒等式となるようにa,bを設定すれば良くないですか?

34 基本 例題 19 分数式の恒等式 (部分分数に分解) a 5x+1 + Q 等式 (x+2)(x-1) x+2 b x-1 X)S- がxについての恒等式となるように、 00000 9 定数 α, bの値を定めよ。 重要 16, 基本 18 OLUTION CHART 解答 SOLUTION 数式の恒等式 分母を払って、 整式の恒等式に直す 分母を払った等式が恒等式ならば,もとの等式も恒等式となる。 両辺に (x+2) (x-1) を掛ければ, (整式)=(整式)の形になる。これが恒等式と なるように,係数比較法または数値代入法を利用して係数を定める。・・・・ 両辺に(x+2)(x-1)を掛けて 5x+1=a(x-1)+6(x+2) 方針1 (係数比較法) 右辺を整理して ① 5x+1=(a+b)x+(-a+26) 分数式の恒等式では、分 母を払った等式がまた 恒等式である。 両辺の同じ次数の項の係数が等しいから 5=a+b, 1=-α+2b これを解いて a=3, b=2 □方針②(数値代入法) ①がxについての恒等式ならば x=1 を代入して 6=36 よって 6=2 x=-2 を代入して-9=-3a よって a=3 逆に,このとき ① の右辺は 愛して さ 3(x-1)+2(x+2)=5x+1=(I−3) +1 となり,左辺と一致するから ① は恒等式である。 よって a=3,b=2 もとの分数式のままで はx=1,x=-2 を代入 することができないが, ①の形ならば代入して構 わない。(解答編 PRACTICE 19 の inf. 参照) INFORMATION この結果, 例題の左辺の分数式は 5x+1 = 3 + 2 (x+2)(x-1)x+2 分解することができる (p.28 重要例題16 も参照)。 PRACTICE・・・ 19 2 ② x-1 の形の部分分数に 81 WETK

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数学 高校生

211(2)で16は何で極大にならないんですか?

基本 関数y= 指針 例 338 基本例 次の関数の極値を求め、そのグラフの概形をかけ。 (1) y=3x-16x +18x2+5 211 4次関数の極値, グラフ (2) y=x^-8x3+18x2-11 00000 3次関数の極値やグラフと同じ方針で 基本 209 210 218 解答 指針 4次関数であっても, p.335~337 で学習した3 める。 つまり、次の手順による。 ①y を求め,まず, y = 0 となるxの値を求める。 ②yの符号の変化を調べる (増減表を作る)。 ③ 作成した増減表をもとにしてグラフをかく。 CHART 関数の極値・グラフ y'の符号の変化を調べて増減表を作る (1)y=12x-48x2+36x =12x(x2-4x+3) =12x(x-1)(x-3) y = 0 とすると x=0, 1,3 yの増減表は次のようになる。 5 10 I 3 | z=y=12x(x-1)(x-3) のグラフ ZA 0 1 ... x 0 1 3 ... y' 0 + 0 0 + 極小 |極大 y 5 10 |極小 -22 -22 よって X 解答 x=0で極小値 5,x=1で極大値10, x=3で極小値-22 をとる。また,グラフは右上の図のようになる。 (2) y'=4x3-24x2+36x=4x(x2-6x+9) =4x(x-3)2 y=0 とすると x=0,3 yの増減表は次のようになる。 Ay ((S)XS16 2か所で極小となる。 |z=y'=4x(x-3)'のグ ラフ ZA x *** 0 3 y' 0 + 20 + 1 3 極小 y |-11 167 -11 よって x=0で極小値11 A + 0 3 I 極小値のみをとる。 をとる。また, グラフは右上の図のようになる。 注意 (2)で,x=3のとき極値はとらない。 なお, p.336 の例題 210 (2) 同様, グラフ上のx座標が3である点における接線x=3のとき=0 の傾きは0である。 練習 次の関数の極値を求め、 そのグラフの概形をかけ。 ②211 (1) y=x-8x2+7 (2) 検討

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