最初のcosの変形の理屈が分かりません なんの公式を使用したらこのような立式になるのか教えて頂きたいです

[例題29] s=sinx, t=cosx とおく。 cos(-2x) と cos3xはsとtの多 項式を用いて cos 2 (2-2x)=cos3x=1と表せる。ただし, ]はともに, tで割り切れる多項式で,t で割るとsだけの多項 π 式になる。 α=ウ とおくと 2α=3α であり, sinα= が成り 3a 2 立つ。 [09 関西学院大] 指針 三角関数の式の計算 様々な公式があるので、要領よく計算できるものを選ぶ。 -2x=sin2x=2sinxcosx=2st 答 解答 COS (-2x)=sinzx cos 3x=4 cos³x-3 cos x=4t3-3t=(4t²-3)t ここで, sin'x+cos'x=1であるから t2=1-s2 よって cos3x={4(1-s2)-3}t=イ(1-4s)t 答 (C) AB BIS π ウル -2a=3a 5 a= 2 10 このとき cos-2a-cos 3a sina=p, cosα=g とおくと 2pg (1-4p2)g g≠0 であるから 2p=1-4p2 よって 4p2+2p-1=0 エ-1+√5 0 <p<1 であるから sina=p= 4

赤丸の部分はどうしてマイナスになっているのでしょうか？？ どなたか分かる方教えてください！！🙇‍♀️

180 重要 例題 112 点(x+y, xy) (1)がすべての実数値をとるとき, 点(x+y, xy) の存在する領域 赤せよ。 がる (2)実数x,yが x+y'≦1 を満たしながら変わるとき, 点(x+y,x) く領域を図示せよ。 G HART & SOLUTION 点(x+y, xy) の動く領域 [類 東京 X=x+y, Y=xy とおき, 実数x, y が存在するための XYの条件を考える (1) X=x+y, Y = xy とおくと, x, yは2次方程式 - Xt + Y = 0 の実数解。 この2次方程式が実数解をもつ条件を考える。 (2)x+yaは,x,yについての対称式であるから,X,Yで表すことができる。 ただし, (1) の範囲に注意。 解答 実数) (1) X=x+y, Y=xy とおくと, x, yは2次方程式 (x+y+xy=0 すなわち f-Xt+Y=0 の実数解である。この2次方程式の判別式をDとすると D=X2-4Y D20 から x. 2数α,Bに対して b=a+B,1=0 とすると, α,Bを 2次方程式の xpx+q= Y-X2 YA 変数を x, yにおき換えて 2 y= x² y≤ x² ① xy 平面上に で,x,yに文字 換える。 よって、求める領域は、右の図の 斜線部分。 ただし、境界線を含む。 (2)x2+y2≦1 から (x+y^2xy≦1 すなわち X'-2Y ≦1 したがって Y2212x-12 2 変数を x, y におき換えて 1 ② よって、 求める領域は ①②の 共通部分であるから, 右の図の斜 線部分。 ただし, 境界線 YA 12 14 xy平面上に図 で、yに文 える。

⑵でy+z＝−2xなのに、2次方程式に表すと2x t、と符号が変わるのでしょうか

例題 6 実数x, y, z2x+y+z=0,xy+yz+zx=-2 を満たしてい る。このとき,次の問いに答えよ。 (1) y+z, yz をxの式で表せ。 (2) xのとりうる値の範囲を求めよ。 (3) 2x2-x+y2+22 の最小値と最大値を求めよ。 指針 条件つき最大 最小 1. 条件式を用いて文字を消去する • 2. 実数解をもつ条件を利用する。 解答 (1) 2x+y+z=0 より y+z=-2x 答 [12 大阪経大 ] xy+yz+zx=-2より yz=-2-x(y+z) =2x-2 (2)(1) より,y,zは2次方程式 2+2xt+2x2-2=0 の実数解である。 D 判別式をDとすると =x2-(2x2-2)=-x2+2 4 D≧0 であるから -x2+2≧0 これを解くと√2≦x≦√2 (3) 2x²-x+y2+2°=2x²-x+(y+z)^2yz =2x2-x+(-2x)2-2(2x2-2) =2x²-x+4158 三 31 A/ EAS =2(x−−1)² + 3/12 8 (2)より,-√2≦x≦√2 であるから,2x-x+y+z x= で 最小値 31 8 " x=√2 で最大値 8+√2 をとる。 答 参考 x=-√2 のとき (y, z)=(√2,√2) x= のとき(y, 2)=( -1±√31 -1 +√31 4 4 (複号同順) ( (C) (1)

(3)がわからないので教えて頂きたいです。 解答の赤字の意味がわかりません。

実戦 79 指数方程式の解の存在範囲 (1) 2" とおくときの値のとり得る範囲は>アである。 関数f(x)=4+α2la+3 について また, y=f(x) として,yを!の式で表すと, y + at + ウエ α+ オ (2)yの最小値が-17 となるとき, αの値は [カキ] である。 (3)xの方程式 f(x)=0 が異なる2つの負の解をもつとき、定数αの値の範囲を求めると、 解答 Key 1 (1) すべての実数xに対して 2 0 であるから また >0 y= (2*)²+a+22.2*+11a+3=12+4at+11a+3 (2)g(t)=+4at + 1la +3 とおく。 y となる。 [ケコ サシ 4x = (27)* = 2x t=0 を範囲に含まない A g(t)=(t+2a)-4 +11a+3 であるから (i) 2a0 すなわち a ≧ 0 のとき y=g(t) のグラフは右の図のようになり,g(t) 最小値をもたない。 は最小値をもたない。 11a+3 -2a ゆえに、最小値が17 となることはない。 10 t (ii) 2a>0 すなわち α < 0 のとき y = g(t) のグラフは右の図のようになり,g(t)は t = -2α のとき最小値 4² +11a+3をとる。 最小値が-17 のとき -4a²+11a+3=-17 (4a+5)(a-4) = 0 となり a <0 より a=-- 5 4 (3) x < 0 のとき t = 2* < 20 = 1 E)-30-4a²+11a+3 -2a 10 t 4a²-11a-20=0 実戦問 関数f(x)=3 (1) = 3 +3 3x+3= y- (2)の3次 となるか x=log/ 解答 Key 1 Key 1 Key Key 1 xの方程式 f(x) = 0 が異なる2つの負の解をもつとき,tの2次方 程式 g(t) = 0 は区間 0 <t < 1 に異なる2つの実数解をもつ。この とき, g(t)のグラフは次の図のような放物線になる。よって (i) 放物線y=g(t) の頂点のy座標が負で あるから4² + 11a + 3 < 0 as 43 (ii) 放物線y = g(t) の軸は t = -2a より g(1) 0 < −2a<1 9(0) = 11a+3> 0 (0) -2a 0 1 方程式 g(t) =0の判定 D0 としてもよい。 (iv) g(1)=15a+4>0 (i)より (a-3)(4a+1) > 0 ゆえにく 4' 1,3<a -ds (iv) (ii)より <a< 0 (iii) 2 (ii) (Ⅲ) より a> Ja(iv) h a> -· 3 14 15 ( 3 = -0.2727... a 11 0 3 4 3 13 (i)~ (iv) より, 求めるαの値の範囲は <a< 15 = -0.2666... 15

例題79.2 模範解答で「cosθ≠0のとき」と書いているところを 「θ≠0°のとき」と書き間違えてしまったのですが、 これは厳密には「θ=2nπのとき」が正しいが、 nという値を出すくらいならcosθ≠0としたほうがいいということですか？

基本 例題 79 媒介変数表示された関数の導関数 00000 xの関数yが,t, 0 を媒介変数として,次の式で表されるとき,導関数 t.0の関数として表せ。 ただし, (2) のαは正の定数とする。 dy dx を x=t+2 (1) y=t2-1 x=a(O-sin0) (2) y=a(1-cos0) p.129 基本事項 3 重要 80、 指針 媒介変数表示された関数の導関数は,次の公式を利用して計算するとよい。 dy x=f(t), y=g(t) のとき dy dy dt dt g'(t) = = dx dt dx dx = f'(t) dt (1) dx =312, dy =2t V (1) 曲線の概形 dy 解答 dt dt dy Ex よって, t≠0のとき dx=21-2 2t 3t2 3t t=1 t=-3/2 2 dx dy (2) =a(1-cos 0), =asino I 3 de x de -1 t=0 よって, cos0≠1のとき dy_asin = dx a(1-cos 0) sin == 1- cos 0

途中式や答えが間違っていないか、確認してほしいです。よろしくお願いします🙇🏻‍♀️

問題 6. 以下の定積分を計算しなさい。 答 dx VI-X TC 1 2 dx V1-x2 公式 dx. =arcsinx+C V1-22 Sε dx = [aresin x] & xx=1/2のとき、arcsin(1)=1/ X=0のとき、arcsin(0)=0 St dx = #2 - 0 = 776

この問題が解説読んでもよくわからないです

107.nを自然数とする. (4) xl+lyl≦nとなる2つの整数の組(x,y)の個数を求めよ。 (2)|x|+|y|+|z|≦n となる3つの整数の組(x,y,z)の個数を求めよ. とする。 円柱の高さが丸cm ( 熊本大) 1024

青い下線部なのですが、D≧0からD≧x²-y y≧x² だと思っていたのですが解答はx²≧yとなっていました。 どのように考えたら解けますか？？ どなたか分かる方教え... 続きを読む

178 重要 例題 111 直線が通過する領域 を実数の定数とする。 直線 2kx+y+k=0..... ①について ての実数値をとって変わるとき, 直線 ①が通る領域を図示せよ。 CHART & SOLUTION 直線が通過する領域 実数k が存在する条件を x, y で表す... 0 直線 ①が点(x, y) を通る①を満たす実数kが存在する ①をんについての2次方程式とみて、 次の同値条件からxとyの関係式を求め 別解 解答 2次方程式が実数解をもつ⇔ D≧0 2変数 x, yのうち,まず, xの値を x=t と固定して, yのとりうる める。その後,tの値を動かしてみる。 ①をんについて整理すると k2+2xk+y=0 ... 2 直線 ①が点(x, y) を通る条件は,②を満たす実数kが存在 ← ② を満 在しな することである。 が点( kの2次方程式②の判別式をDとすると D=xy OD≧0 から y≦x2 したがって, 直線 ①が通る領域は, 放物線 y=x2 およびその下側の部 分で,図の斜線部分。 ただし, 境界 線を含む。 はでき y 最大

答えが無いので合ってるか教えて欲しいです🙏

4 次の方程式を解きなさい。 (1) 2x2+7x+4=0 (3)x2-4x+2=0 (2)3x2+4x-1=0 (4)/5x2+2x-3=0 S 5 次の方程式を解きなさい。 (1) 3x2+21x-24=0 問題にし (2) (x–4)(x+2)=5x-18

なんでこの問題って場合分けしないといけないんですか？

252 y=2sint-sint (0≧≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積 面 媒介変数によって,x=2cost-cos2t 6 y CHART & SOLUTION 基本 156 基本例題156 では,tの変化に伴ってxは常に増加したが, この問題ではの変化が単調でないところがある。 とする y2 この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり x軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。 したがって, 曲線 AB を y, 曲線 BC を y2 とすると 求め る面積Sは 右の図のように, t=0 のときの点を A, x座標が最大とな る点を B(t=tでx座標が最大になるとする),t=xのとoco きの点をCとする。 B i-3 0 1 A xx t=0 t=to 曲線が往復 している区間 (a>0) S=Sydx-Sy yi dx x0 ! ら と表される。 よって,xの値の増減を調べ,x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。 また,定積分の計算は,置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。 解答 図から,0≦t≦πでは常に 2x-1200=xb (-xhie) logob log3-2 『 y≥0 onial また y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost -Dial =2sint(1-cost) inf. Ost≤ DE sint≧0, cost ≦1 から Dy=2sint(1-cost)≥0 としても, y≧0 がわかる。 よって, y=0 とすると sint = 0 または cost=1 0 から t=0, π 次に, x=2cost-cos 2t から から dxc == -2sint+2sin2t dt D =2sint+2(2sintcost) (小平 (八 =2sint(2cost-1) << において x=0 とすると, sint>0 で dt あるから t 20 π ・・・ cost= 2 ゆ t= + 3 0 「 よって、xの値の増減は右の表のようになる。分するよう! 1 XC -> 32 T ← B