重要 例題 173 連立不等式で表される立体の体積
00000
xyz空間において,次の連立不等式が表す立体を考える。スエ
(0≦x≦1,0≦x≦1,0≦x≦1,x2+y2+22-2xy-1≧0
(1)この立体を平面 z=t で切ったときの断面を xy 平面に図示し、この断
面の面積 S(t) を求めよ。
(2) この立体の体積Vを求めよ。
[北海道大]
基本165
CHART & SOLUTION
この問題では、連立不等式から立体のようすがイメージできない。
そのような場合も 断面積を求め, 積分すればよい。
この問題では, (1) で指定されているように, z軸に垂直な平面 z=tで切ったときの切断面
を考える。
解答
(0≦x≦1であるから
1枚
x2+y2+22-2xy-1≧0 において, z=t とすると
x2+y2+t2-2xy-1≧0
(y-x)2≥1-12
y-x-1-2 または √1-f≦y-x
y≦x-v1-12
よって
すなわち
ゆえに
または y≧x+√1-12
よって, 平面 z=t で切ったとき
水の断面は、右図の斜線部分である。
ただし、境界線を含む。
YA
y=x+1-t2
y=xv1t2
√1-12
また
S(t)=2/12 (11) 2
1-√1-2
転体に(1-√1-2)2
O
√1-12
x
1-√√1-12
z=t を代入すれば、断
面の関係式 (xy平面に
「平行な平面上) がわかる。
X'A' (A≧0)
⇔X≦-A, AsX
←T = √1 -f とおくと、
断面は直線 y=x+T
の上側 y=x-T の下
側で, 0≦x≦1,0≦y≦1,
0≦T≦1 である。
2つの合同な直角二等
辺三角形の面積の合計。
(2) V=SS(t)dt='(1-√1-1²)²dt
1
=(2-1-21-1)=[21-1]-2S コード at
t=2t
S 1-dt は半径が 1 の四分円の面積を表すから
5
=2-13-21-1-1
PRACTICE 1736
を正の実数とする。 xyz 空間において, 連立不等式
MELE x²+ y² ≤r², y²+z² ≥ r² - 2 |
積分区間は 0≦t≦1
bxS
←t=sine の置換積分法
より、図形的意味を考え
た方が早い。
