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例題 72 解の存在範囲 (4)
2次方程式 ax²-(a+1)x-3=0 の1つの解が-1<x<1の範囲にあ
り、他の解が2<x<4の範囲にあるような定数aの値の範囲を求めよ。
考え方 y=f(x)=ax²-(a+1)x-3 とおくと,
題意を満たすのは, f(x)のグラフが
右の図のようになるとき.
つまり, グラフの凹凸に関係なく
f(-1) f(1) 異符号,
(2) f(4) が異符号
Focus
f(1)=a・12-(a+1)・1-3=-4
y=f(x)
より, f(-1)f(1) <0,
(2)(4)<0 となるときである1と1の間2と4の間 -1と1の間 24の間
解答 y=f(x)=ax²-(α+1)x-3 とおくと,
f(x)=0は2次方程式より
a=0
求めるのは, y=f(x)のグラフが-1<x<1と2<x<4
の範囲で,それぞれx軸と交わるαの値の範囲である.
(i)y=f(x)のグラフが-1<x<1の範囲でx軸と交
わるための条件は,f(-1) f(1) <0_となることである.
f(-1)=a・(-1)²-(α+1)・(-1)-3=2a-2
(2)f(4)=(2a-5)(12a-7)<0
より
したがって、 1<a<2/2 5
よって、①,②より、 1<a</1/2 5
......2
(PT)
y=f(x)
より
f(-1) f(1)=(2a-2)・(-4)<0
したがって, a-1>0 より,
a>1
･①
(ii)y=f(x)のグラフが2<x<4 の範囲でx軸と交わ
るための条件は, (2) f(4)<0 となることである.
f(2)=α・22-(a+1)・2-3=2a-5
f(4)=a•4²-(a+1) 4-3=12a-7RM30)
(2)
10 D
2
7 1
12
4 x-1
解の1つがより大きくgより小さい,
他の1つはより小さいか」より大きい
⇒ f(p)・f(g) < 0
31000 CINE
2318261-
5
* * * *
2
1
(1)
AL
a
2
14
2次方程式
ax²-(a+1)x-3
より、a≠0
a>0 の場合
a < 0 の場合
x
1 2
=0
4x
4
XC
となり,いずれも
f(-1)(1)<0
ƒ(2)•ƒ(4) <0
となる.
Thir
例
注》例題 72 のように, f(-1) f(1) <0 かつf(2) (4) <0 のとき、必ずx軸と2つの共
有点をもつから, 頂点のy座標の正負に触れる必要はない、軸の位置
のことを,いろいろな2次関数のグラフをかいて確かめて
