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第6章 微分法
基礎問
110 面積 (VI)
y=a(16-y2)-12a+2
.ay²+y-2(2a+1)= 0
..(y-2) (ay+2a+1)= 0
y=2, -2-
Ah - 48-2 12
0 2011 6
よって(-2)(a4+2a+1)
173
放物線 ①と円+y=16
(1)放物線 ①がαの値にかかわらず通る定点を求めよ.
放物線y=ar2-12a+2
· (0 <a< 1/1)
......
・① を考える.
2-1
20+1
a
-20
ここで,212 より-2--
a
1-4 となり,円=16 上の点
･･･ ② の交点のy座標を求めよ.
a=1のとき,放物線 ①と円 ②で囲まれる部分のうち, 放物
線の上側にある部分の面積Sを求めよ.
(1)定数αを含んだ方程式の表す曲線が,aの値にかかわらず通る
精講
定点を求めるときは、式をαについて整理して, a についての恒
等式と考えます (37).
(2)2つの曲線の交点ですから連立方程式の解を求めますが,yを消去すると
の4次方程式になるので, x座標が必要でも,まずxを消去してyの2次
方程式にして解きます.
(3) 面積を求めるとき,境界線に円弧が含まれていると、 扇形の面積を求める
ことになるので,中心角を求めなければなりません。だから, 中心〇と交点
を結んだ線を引く必要があります。 もちろん,境界線に放物線が含まれるの
で,定積分も必要になります。
y=-2--
1
a
は不適. よって, y=2
は-4≦y≦4 をみたす
(3)a=1/12 のとき,①は y=1/1000
また,(1),(2)より, ①,②の交点は
4
y
A(2√3, 2), B(-2√32)
AO=120° だから
4
2
BY
XA
S-22-(-1) dr
dx
1
2π
--4-4-sin-
360 2
3
1
12/3
16
=
14
42
2F
-1
解答
(1) y=ax2-12a+2 より
y移項する
ポイント
a(x²-12)-(y-2)=0
< αについて整理
これが任意のαについて成りたつので
[2-12=0
:.x=±2√3,y=2
+(7.4². 120
--³+6x+6x-4√3
Jo
24/3 +12/3 +10 -4/3
6
16
=4√3+0x7
π
-4
÷(径)05×(半径)2x360
境界に円弧を含む図形の面積は,中心と結んで扇形の
面積を考えるので、中心角が必要
(2)
y-2=0
よって、 ①がαの値にかかわらず通る定点は
(±2√3, 2)
y=ax²-12a+2 ・・・・・ ①
r2+y2=16
......2
②より, '=16-y' だから, ①に代入して
演習問題 110
第6章
2次関数f(x)=x^2+ax+b が条件f(1)=1, f'(1) = 0 をみた
すとする.また,方程式-2x+y-2y=0 が表す円をCとする.
(1) α, 6 の値を求めよ.
(2)y=f(x)のグラフと曲線で囲まれる部分の面積のうち,放
物線の下側にある部分の面積Sを求めよ..
