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重要
30 漸化式と極限 (5) ・・・はさみうちの原理
00000
数列 (a) が 03.42=1+1+α (n=1, 2, 3, ......) を満たすとき
(1) 03を証明せよ。
((3) 数列{an) の極限値を求めよ。
指針
(2) 3-**
<1/12 (3-2)を証明せよ。
[ 神戸大]
p.34 基本事項 基本 21
① すべての自然数nについての成立を示す数学的帰納法の利用。
(2)(1)の結果、すなわち、3-0であることを利用。
(3) 漸化式変形して、一般項αをの式で表すのは難しい。そこで、(2)で示した
不等式を利用し、はさみうちの原理を使って数列 (3-α)の極限を求める。
はさみうちの原理 すべてのnについて Disastのとき
limp = limg =α ならば
なお,p.54.55の補足事項も参照。
lima-a
53
CHART
求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
2章
数列の極限
解答
(1) 0<an<3 ...... ① とする。
[1] n=1のとき,与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき,①が成り立つと仮定すると
0<ak <3
nk+1のときを考えると, 0<ak<3であるから
ak+1 1+1+ak >2>0
ak+1=1+1+ak <1+√1+3=3
したがって 0<ak+1 <3
<
よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ①は成り立つ。
(2)3-αn+1=2√1+an =
3-an
2+√1+an
</13-
<1/3 (3-4)
\n-1
lim
(3)(12) から, n≧2のとき
no 3
1\n-1
したがって
03-am = (1/3)
=(1/2) (301)
(3-α1) = 0 であるから
lim(3-an)=0
N1X
liman=3
n→∞
数学的帰納法による。
<0<a<3
<<αから√1+ax >1
<3から√1+αk <2
3-a>0であり,an>0
から
an>
n≧2のとき, (2) から
3-and-
an< (3-an-1)
(1/2)(3)………
\n-1
(1/2)(3)
3
=2, n=2のとき a2= 2/2 am1-1/2 を満たす数列{an)について
すべての自然数nに対してan>1であることを証明せよ。
「類 関西
