基本例題 70
基本 69
基本 83,
(1)△ABC の重心をGとする。このとき, 等式
AB?+BC?+CA°=3(GA?+GB?+GC®) が成り立つことを証明せよ。
(2) △ABC において, 辺 BCを1:2に内分する点をDとする。 このとき, 等式
2AB+AC?=3AD?+6BD? が成り立つことを証明せよ。
a A0
めるとも
3章
12
22014 0)
後に
指針> 座標を利用すると, 図形の性質が簡単に証明できる場合がある。 そのとき
与えられた図形を座標を用いてどう表すか
か
座標軸をどこにとるか
が問題になる。そこで後の計算がらくになるようにするため, 問題の点がなるべく多く
座標軸上にくるように 0が多い ようにとる。
(1)は A(3a, 3b), B(-c, 0), C(c. 0) とすると, 重心の性質から G(a, b)
(2)は A(a, b), B(-c, 0). C(2c, 0)
a
CHART
座標の工夫 0を多く
2 対称に点をとる
解答
(1) 直畿BC、交火奥に, 辺 BCの垂直美覧分線をy軸にとると。
線分 BC の中点は原点Oになる。 A(3a, 36), B(-c, 0),
C(c, 0) とすると, Gは重心であるから G(a, b)と表される。
A(3a,36)
AB+BC°+CA"
=(Ic-3a)°+96+4c°+(3a-c)*+96°
=3(6a°+66°+2c") … ①
GA+GB*+GC*
よって
G(a,b)
B。
(C,0) x
直料
=6a*+66°+2c?
AB+BC*+CA'=3(GA*+GB?+GC?)
2
0, 2 から
直錦 BCをr軸に点Dを通り直線BCに垂直な直線を
直線上の点、平面上の点一
