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基本例題 244- 面積の最大 最小 (1)
作用と飲作はソード"で囲まれる図形の面積をSとする
小値を求めよ。
指針点 (1,2) を通る直線の方程式は, その傾きをm とすると, y=m(x-1)+2と表される
まず, この直線と放物線が異なる2点で交わるとき, 交点のx座標α, BSを表す
が利用できる。
このとき,公式f'(x-a)(x-B)dx=1/(a-α)
6
更に,S を m の関数で表し,mの2次関数の最小値の問題に帰着させる。
解答
点 (1, 2) を通る傾きmの直線の方程式は
y=m(x-1)+2 ....... ①
と表される。
直線 ① と放物線y=x2の共有点のx座標は, 方程式
x2=m(x-1)+2 すなわち x-mx+m-2=0
の実数解である。 この2次方程式の判別式をDとすると
D=(-m)²-4(m-2)=m²-4m+8=(m−2)²+4
常に D > 0 であるから, 直線①と放物線y=x2は常に異なる
2点で交わる。
その2つの交点のx座標をα, β (a <β) とすると
s=Sm
{m(x-1)+2-x2}dx=-
=-f(xーmx+m-2)dx
=-f(x-a)(x-B)dx=1/(B-α)
_m+ √D _m-√D = √D=√ (m−2)²+4
2
また B-α=-
したがって, 正の数β-α は, m=2のとき最小で,このとき
(B-u)も最小であり,Sの最小値は 1/12 (14)=1/3
x2-mx+m-2=0の2つの解をα, β とすると
よって
(B-α)²=(a+B)2-4aß=m²-4(m-2)=(m−2)²+4
a
YA y=x²
(1,2),
x=
IS
点(1,2)を通り軸に垂
な直線と放物線y=x"で
まれる図形はない。よって
軸に垂直な直線は考えなく
てよい。
y=ms-1
<α, βは2次方程式
検討 β-αに解と係数の関係を利用
S=12 (B-α) において, (B-α)の計算は 解と係数の関係 を使ってもよい。
=1/(B-
a+β=m, aβ=m-2
B
x2-mx+m-2=0の解で
»*1²=__=_s=—=— (B-a)² = — _ ((B-a)²³)³ = = = {(m − 2)² + 4)}²} ≥ 1/1 •4 ² = 1 {3}
S=
m± √√m²-4m+8
2
m²4m+8=D
練習
③244 きが 2x+mであるという。 放物線y=f(x) と放物線y=-x²+4x+5で囲まれる
mは定数とする。 放物線y=f(x) は原点を通り, 点 (x, f(x)) における接線の
図形の面積をSとする。 Sの最小値を求めよ。
p.382 EX19
