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20 2次不等式/ 「すべて」 と 「ある」 がらみ
aを実数とし,f(x)=x2-4ax+a, g(x)=-ューSax+3a とする.
(1) すべての実数に対しf(x)≧g(x) であるためのαの条件を求めよ。
賢
(2) ある実数x (1≦x≦2) に対しf (x) ≧g(x)であるためのαの条件を求めよ.
(3) すべての実数 1, T2 に対しf (m) > g (x2)であるためのαの条件を求めよ.
(4) f(x)≧g(z) がすべての実数xについて成り立ち、かつf(x)≦g(x2)である実数x1, I2
が存在するためのαの条件を求めよ.
条件を言い換える
(大阪医薬大医,改題)
不等式f(x)≧g(x)は; 左辺にェを合流させた形f(x)-g(x)≧0にした
ほうが式変形の可能性が出てくる. 一方,不等式(≧g (m2) は, f(x) -g (m2) ≧0と合流させて
も
(1)
2 は実数とする.
が同じではないので式変形の可能性はない。以下,,,
「すべてのxに対しf(x)≧g(x)」「すべてのに対しf(x)-g(x)≧0」
「f(x) -g (z)の最小値≧0」 これは,前問と同じタイプである。
(2) 「あるπに対しf(x) ≧g(x)」 ⇒ 「あるæに対しf(x)-g(x)」
たば
「f(x)-g(x)の最大値≧0」 (うまい』を選べば,f(x) -g (z)が0以上になる)
「すべてのπ1, I2 に対しf (x1) >g (x2)」
(1) D
(3)
(下)
⇔ 「f(x)の最小値>g(x) の最大値」(どんな組 z1, T2 でも成立しなければならないから)
(4) 「ある π1, r2に対しf (x1) ≦g(x2)」(うまい組 1, 2 を選べばf(x) ≦g(x2))
グラス&
FCK
⇔ 「f(x) の最小値≦g(x) の最大値」 (なお、 「x1,x2が存在する」=「あるπ1, 2 に対し成立」)
圜解答圜
h(x)=f(x)-g(x)=2x2+4ax-2a=2(x+α)2-2a22a
(1) h (x)の最小値-242-2αが0以上であることと同値であるから,
A-2a2-2a≥0 ... a(a+1)≦0
.. -1≤a≤0
(2) 1≦x≦2におけるh (x) の最大値が0以上であることと同値である.
x=1またはx=2で最大値をとるから,その条件は, h(1) ≧0または(20
.. 2a+20 または 6α+8≧0 .. a≧-1 または a≧-
4
3
4
3
(1)
y=h(x)
-a
x
28.01
(2)
y=h(x)
(3) f(x) の最小値をm, g(x) の最大値をMとすると, mM と同値である.
ここで,f(x)=(x-2a)2-4a2+α, g(x)=-(x+4a)2 + 16a2+3a
であるから,m=-4a2+α, M=16a2+3a
>Mにより, -4a2+α>16a2+3a
0>>
(ウ)
.. 20α²+2a<0
..
α(10a+1)<0
①
<a<0
10
(4) f(x)≦g(x2) である実数 11, T2 が存在する条件は,≦Mと同値.
これは①のを≧に代えたものと同値であり,これと(1)とから,
гa≤-
1
1
または 0≦a」かつ「-1≦a≦a≦
または α = 0
10
10
20 演習題 解答はp.63 )
(3)
|y=f(x)
x=2a
すき間
(4)
\y=f(x)
y=g(x)
x=-4a
y=g(x)
不等式-2+(a+2)x+a-3<y<x2(a-1)x-2 (*)を考える.ただし,
x, y, a は実数とする. このとき, 以下を満たすためのαの値の範囲を求めよ.
(1) どんなに対しても,それぞれ適当なりをとれば不等式 (*) が成立する .
(2)適当なyをとれば,どんなェに対しても不等式 (*) が成立する.
(早大 人間科学)
(2) yをまずェとは無
関係に決めなければなら
ない.
59
53
