数列の極限（2）についてですが、はさみうちで挟む問題ですが、不等式で挟むのにどこから1/4（4k^2-1）が出てきたのでしょうか 解答のプロセスを知りたいです

Check 例題100 はさみうちの原理(3) 解答 次の極限値を求めよ. 2n 1 { n => 7 limin 練習 n→∞ k=n X 考え方 (1) (2k-11 (2k+1)-1/12 (21) と部分分数に分解する。 2k+1. (2) k≧1 のとき,0<=(4k²-1)<k<k+k であるから, 4 114 より+1) << (2k-1)(2k+1) が導かれる。 k² (1) k² + k k²4k²-1 2n 2n. (2k-1) Ž k=n(2k-1)(2k+1) (2k-1)(2k+1). 1 2n-1 H(₂ 2n+1)+(2n+1=2n+3)+...+(₁²-1 2 1 1 #07 2 2n-1 よって, よって, ここで, また, n - 2 1 4n+1 2n im {n 2 (2k-1)(2k +1)} k=n - lim n→∞ n 2n 2n n→∞ k=n 22k. 2- 2n (2) limn ( n 2 71 n→∞ k=n 2n (1) の結果を用いると 1 (2) k より 01/12 (41) <<+kが成り立つから, 1 1 4 k2tkk2 14²1 次の極限値を求めよ. n 1 4+ n k=nk(k+1) lim {nk{(k+1)} = n→∞ >"), つまり、 STU 1 1 2 2 n -lim 2/2 (2n-1-4n+1) n→ 00 <n> 72 <n> k=nk² 4 =limn{(²²_n²+₁)+(n+₁_n²₂) + =lim n ( 1²2-22² + 1) = 1 - ² = 1/1/1 n→∞ n 2n+1 2 2n ESO 2n =4•nΣ k=n(2k-1)(2k+1) (東京理科大) 4 <1/12< k(k+1) k² (2k-1)(2k+1) ..1 k=n(2k-1)(2k+1) 2n =lim nΣ n ²² ( 1 / - / + 1)} <0) k n→∞ k=n k+1 *** +2)+..+(1/2/27 1 4n+1, より、 k=n(2k-1)(2k+1) 2n lim n D) (2k + D)} = 4 + 1/² = 1/²/2 n→∞ k=n(2k-1)(2k+1)] 8 よって, ①, ②, ③ とはさみうちの原理より, 2n limn n→∞ (2n+1) 2n (n-1) - 1²/2

各問が完全には理解できません。 (1)はn＝kのとき、なぜ0<ak<3の両辺に1を足して、akではなくak+1の不等式を求めているのですか？ (2)はn≧2の時以降が分かりません。n≧2の時の前まではnはどんな数で証明されているのですか？ (3)は「はさみうちの原理より」と... 続きを読む

43 数列{an} は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ...) をみたす ものとする。このとき、次の(1), (2), (3)を示せ . (1) n=1,2,3, に対して,0<an <3 \n-1 (2)n=1,2,3,… に対して, 3-ans (1/2)^^ (3-42) 3-an≦ ² (3-a₁) (3) liman=3 12400 (1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき、ま ず,帰納法と考えて間違いありません. (2)これも (1) と同様に帰納法で示すこともできますが,「≦」→ 「=」としてみると,等比数列の一般項の公式の形になっています. (3) 44のポイントの形になっています。臭いプンプンというところでしょう. |精講 解答 (1) 0<an<3 ･･① を帰納法で示す。有 (i)n=1のとき, 条件より0<a<3 だから, ① は成りたつ. (ii)n=k(k≧1) のとき,0<a<3 と仮定すると、 1<ak+1 < 4 :: 1<√1+ak <2<2<1+√1+ak <3√2173 12 < ak+1 <3 よって,0<ak+1 <3 が成りたつ。 (i), (ii) より , すべての自然数nについて, ① は成りたつ. (2) an+1=1+√1+an3-an+1=2-√1+an まず、左辺に3-αn+1 をつくると 右辺にも3-an がでて くる ħi= (2¬√1+an)(2+√1+an) 2+√1+an (1)より 1<√√1+an <2⇒3<2+√1+an<4 3-an>0 だから、 = 3-an 2+√√1+an WASSA ==/=/< 2+√²+ a₂ (3-an) ^2+√1 + a₂ <= 3-an 2+√1+ an 3-an+1 <= (3-an)

数3 微分法 の問題です。 マーカーの部分が分かりません なぜx>1とする必要があるのは何故ですか？

264 基 本 例題 167 不等式の証明と極限 (1) x>0 のとき, x 10gx であることを示せ。 logx (2) (1) を利用して, lim X→∞ CHART OLUTION 不等式の証明と極限 はさみうちの原理を利用 (1) f(x)=左辺(右辺)とし, f(x) > 0 を示せばよい。 f(x) の増減表を作り, (最小値) > 0 を示す。 (2)(1) の不等式を利用して、 f'(x)= lim x-∞ √x 解答 (1) f(x)=√x-logx (x>0) とすると 1_√x-2 2x 1 2√x -=0 であるから INFORMATION 例題で証明した lim - = 0 を示せ。 x f'(x)=0 とすると √x =2 これを解いて x=4 x>0 におけるf(x) の増減表 は右のようになる。 x>0のときf(x)≧f(4)=2-log4=loge²-log4> 0 よって, x>0 の √x>logx (2)x→∞について考えるから,x>1 としてよい。 このとき (1) から 0<logx<√x 各辺をx(>0) で割って logx x X→∞ logx x 0 < x f'(x) f(x) logx XC を不等式ではさむ。 logx lim X→∞ x <. 0 1 √x -=0 T 4 0 極小 2-log 4 + > ...... INS *** (<(x)) 00000 ■2=210ge=loge² また, 2<e<3 である から 4<e²<9 |基本 165 はさみうちの原理 -=0 において, logx=t とおくと x=e であり, te' x→∞ のとき → ∞ であるから, lim- この2つの極限はよく使われるので覚えておくとよい。 次ページも参照。 x = 0 すなわち limax=0 も成り立つ。 PRACTICE･･・･ 167③ (1) 0<x<πのとき, 不等式 xCOSx < sinx が成り立つことを示せ

黒矢印のところがなぜそうなるのか分かりません

例題123 はさみうちの原理の利用・ 次の極限値を求めよ。 ただし, [x]はxを超えない最大の整数とする。 ✓ [x] 1 x (1) limxcos x+0 (解答 ....... Action 式変形できない関数の極限は,不等式をつくりはさみうちの原理を用いよ 解法の手順･･ ･1 (1) は極限を求める関数の絶対値を考える。 2極限を求める関数に関する不等式をつくる｡ 3 | はさみうちの原理を適用する。 (1) 0≦cos. ≦1より ≤cos ≤1 kh 0≦xcos XC ここで mxcos ing|x0=0 lim xcos x→0 よって 2008/1/11 x ここで, ling|x|= 0 であるから, はさみうちの原理より ≤ |x| 1 limxcos ==0 X (2) lim x x →∞ x したがって (2) nを整数として,n≦x<n+1のとき [x] = n よって, [x]≦x<[x] +1 より coss x x-1<[x]≦x x→∞のとき,x>0としてよいから,各辺をxで割って x-1 [x]* ≤1 x したがって, はさみうちの原理より ≦|x| x-1 lim *¹ = lim(1-¹)=1 x xα [x] lim x →∞ XC I+ = 1 ((S) S →例題90 絶対値をとって不等式 をつくる。 絶対値をとら 1 ずに -1≦cos —≦1を x 用いてもよいが,x → 0 より (ア) x>0 のとき -x≤xcos- =(1+x)2011x (イ) x<0 のとき ≦x 1 x≦xCOS≦-x と場合分けして考えなけ ればいけない。 Point 関数の極限の大小関係 (1)q の近くのすべてのxについて f(x) ≧ g(x)≦h(x)が成り立ち、かつ limf(x)=limh(x)=αならば limg(x)= =α (はさみうちの原理) x-a xα (このことは xや n x n+1 II [x] [x]+1 xは正の無限大に向かっ ていくから,x>0とし て考えてよい。

⑴です。なぜ、赤下線部のように変形をして解かなくてはいけないのですか？説明お願いします。 数3、ハサミうちの原理です

16 限 Check 例題 99 はさみうちの原理(2) 次の極限値を求めよ. [x]はxを超えない最大の整数を表すものとする. (1) lim n→∞0 [考え方] 練習 つまり, J 解答 書 (1) -1 < [1号 より。 1< ここで Focus n 3 n n []はガウス記号で, [x]はxを超えない最大の整数であるから, n≦x<n+1のとき, [x] = n となる(nは整数) が考える。 [x]≦x<[x]+1 ここから x-1<[x]≦x を導くことができる. MERSIT 次の lim 12400 (2) (1)13 したがって, (+85)(17_2 1 1 3 (13-1)-1/3 n n 4 n ① ② とはさみうちの原理より, n n (2) R-1<[2] = -1<[A] ≤ 0. 3 3 n n 33 +4 -2 <[3] + [4] = 3 + 4 1 2 - ²/2 < ² / ( ( 3 )] + [²]) = 1/2 12 n n 7 n lim n→∞0 n n ①,②とはさみうちの原理より, lim - (²3) + [7])=17/2 n→∞0 n GU ++ (( 3 ) + [7]) lim n→∞ n 3 n ここで,lim (1/22)=1/2② 7 n→∞ 1 n ² (12-2) < ² ([ 3² ] + [ #]) = ²(1/2") n n VII n [3] 31_1 11/13 ······2+) 1 3AS) (1 n≦x<n+1のとき, [x] =n(nは整数) [x]≦x<[x] +1 Dom- 5$ [ ] (ガウス記号)の扱い方 x-1 グリ n 長さ1 3 n 3 M *** XC n 各辺をnで割り,与 えられた数列を導く. n 長さ1 [x] (1) [x] +1 n+1x D. 各辺にを掛ける。 +1 ない最大の整数を表すものとする n 3 のを調べ

赤線部が理解できません、どなたか分かりやすく教えてください！🙇

1 " はさみうちの原理を用いて lim (k + sink) を求める。 n→∞nk=0 1≦sink ≦1より、 k-1≦ [空欄1]≦k+1 n これより12(k-1)≦[空欄2]≦→∑(k+1) nk=0 nako 各辺のn→∞における極限を求めれば、 両端の極限値は等しくなるから、 1 " はさみうちの原理により lim (k+sink) = [空欄3 ] となる。 n→∞ nk=0 解説 [狙い] はさみうちの原理について理解しているか。 [方針] 数列{an}{,}{cm}について、 十分大きなんに対してan≦cm ≦b,かつ lim a = limb, = a (収束)ならば、 limc=4が成り立つ。 11-0 1≦sin0 ≦1などを用いて上手に変形して、 はさみうちの原理を使う。 [答案] 用意した不等式の中辺を目的の形に変形していく。 1≦sink ≦1に辺々k を足して k-1≦k+sink≦k+1となる。 =hty (k-1)=— (k+sink) ≤ (k+1) 23. より n ここで n n² 22 k= 0 31 k=0 1 1 n² 2 nº k=0 k=0 (n+1)/12 (n→∞)より、左辺と右辺は12に収束する。 n はさみうちの原理から lim ÷ (k+sink) -—- Σ² (k+sink) = 1/2 n→∞⁰ n² k=0

(2)がどうしても分かりません💦 解説していただけるとありがたいです🙇‍♀️

1 [2022 甲南大] le は自然対数の底, log は自然対数を表す。 (1) x>0 のとき, 不等式2√x log x +2を証明せよ。 (2) (1) の結果を用いて, lim log x x→∞ x を求めよ。

左右で言ってることが違う気がするのですが、どういうことですか？？ 左の(7)だと、挟み撃ちしなくてもできているのに、右側の解説では同じような問題を挟み撃ちで解いています。 もし右を左と同じように解くと答えが違います。

1/11/ V2 V2 = 1 の不定形である。 三角関数の合成を行った後に置換するのがベストである (本解). = T-T 先に置換したのが別解である. 置換後、 合成するか加法定理を適用するかの選択に迫られる.. 合成 sin (t++) -cos(t+1)=V2sin{(t+1)-*}=V2sint 加法定理 sin (t++) - cos(t+1)=sintcos/4/+costsin(costcos - sintsin- 1 to sint+ 1 cost + V2 V2 sint = √2 sint (7) 1/2=tとおくと sint 2x t0 2t = lim sin =lim →∞ のとき → 0, z= 1 V2 cost- 1 sint 1 =lim to 2 t 2 sin = 1 ∞x0= 10 の不定形である.t→0とするため、2 =tと置換する. 1=t と置換してもよく, lim 1 2t t sin 2 =lim 2r t0 t t 2 =lim 11/13-11/12 となる. t t0 2 + 検索用コード sin 次の極限を求めよ. (1) lim 8118 sin r T ここで (2) lim x² cos r-0 三角関数の極限 (はさみうちの原理) (1) <0のとき - ≦1より lim sinz や lim cos は、 極限値をもたない(-1と1の間で振動する). ±∞ 8418 よって (1)~(3) の極限を単純に求めることはできない. sin a この不定形ではないので, lim 0 エ そこで, -1 ≦ sinz ≦1.1 cos ≦1を利用するはさみうちの原理が必要になる. 1 lim H41∞H =0. _lim (-¹) = ∞ ... はさみうちの原理より 1 1 sin.r J =1に帰着させることもできない. 0 (3) limæsin21 sin lim 2-0 T -1≦sinx≦1の各辺をx(0) で割ると, 12/28 lim 1 2-0 sinæ X = 0 =1とは別物なので注意する。→∞とするのであるから, x<0 としてよい。 sin T 1 となる. エ

数lll 281(1) 模範解答のマーカー部分の求め方がなぜ［］内のようになるのか教えてください。

281 次の関数のx=0 における連続性と微分可能性を調べよ。 *(1) x=0 のとき f(x)=x'sin 1 f(0)=0 9

下線部の式変形がどうなっているかわからないので教えてほしいです。

問 45 はさみうちの原理 (ⅡI) 数列{an} は 0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, …) をみたす ものとする。 このとき,次の (1), (2),(3)を示せ . Q₁ に対して,0<a<3 に対して, 3-an≦ (1) n=1,2,3, (2)n=1,2,3, (3) liman=3 精講 12100 (1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいとき,ま ず帰納法と考えて間違いありません. (2)これも (1) と同様に帰納法で示すこともできますが,「≦」→ 「=」としてみると, 等比数列の一般項の公式の形になっています. (3) 44のポイントの形になっています. 臭いプンプンというところでしょう. 解 答 (1) 0<a<3 .･････① を帰納法で示す. (i)n=1のとき, 条件より0<a<3 だから, ①は成りたつ . (i)n=kk≧1) のとき, 0<a<3 と仮定すると, 1 <an+1<4 \n-1 =(-1) ²² (3-a₁) :: 1<√1+ak<2=2<1+√1+ak <3 12 < ak+1 <3 よって,0<ak+1 <3 が成りたつ. (i),(ii)より, すべての自然数nについて ① は成りたつ. (2)an+1=1+√1+an3-an+1=2-√1+an まず、左辺に3-αn+1 をつくると 右辺にも3ーan がでて くる ħ2=(2−√1+an)(2+√1+an) 2+√1+an 3-a>0 だから, (1)より 1<√1+an <23<2+√1+an<4 3-an 2+√1+an ∴. 3- 3-An 2+√1+an ==< 2+ tan -(3-an) -an+1 < (3—an) 3