基礎問
37 最大・最小 (III)
(1)実数x,yについて,r-y=1のとき,2-2y2の最大値と,
そのときのxyの値を求めよ.
(2)実数x, y について, 2.x2+y^2=8 のとき,r'+y-2.xの最大
値、最小値を次の手順で求めよ.
(i)x2+y^2-2x をxで表せ.
(ii) xのとりうる値の範囲を求めよ.
(ii)x2+y^2-2xの最大値、最小値を求めよ.
(3)y=x4+4.x3+5x2 +2.x +3 について,次の問いに答えよ.
(i) x2+2x=t とおくとき,yをt で表せ.
(ii
−2≦x≦1 のとき, tのとりうる値の範囲を求めよ.
(ii)
−2≦x≦1 のとき, yの最大値、最小値を求めよ.
精講
見かけは1変数の2次関数でなくても,文字を消去したり,おきか
えたりすることで1変数の2次関数になることがあります. このと
大切なことは,文字の消去やおきかえをすると
残った文字に範囲がつくことがある
ことです.これは2次関数だけでなく、 今後登場するあらゆる関数でいえるこ
とですから,ここで習慣づけておきましょう.
解答
(1) x-y=1より, y=x-1
:.x2-2y2=x-2(x-1)2=-2+4x-2
=-(x-2)2+2
平方完成は28
はすべての値をとるので、 最大値 2
このとき, x=2,y=1
(2)(i) y2=8-22 より
x2+y2-2x=x2+8-2.x²-2x=-x²-2x+8
(i) y'≧0 だから, 2(4-x2) ≧0
x²-4≤0
-2≤x≤2
2次不等式は44
(x+2)(x-2)≦ 0
