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基本例題 64 方程式の解から係数決定 (2) [虚数解]
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3次方程式x+ax+bx+10-0の1つの解がx=2+iであるとき, 実数の定数
a,b の値と,他の解を求めよ。
[ 山梨学院大 ]
基本63
指針 係数の決定x=aがf(x)=0の解S(α)=0 の利用。
① わかっている解 2+ f を方程式に代入しについて整理する。
②2 複素数の相等条件より, a, bの連立方程式を導き、それを解く。
A, B が実数のとき A+Bi=0⇔A=0, B=0
図求めたa,bの値を方程式に代入し、因数分解して他の解を求める。
これが基本手順である。 また、次の性質を使う解もある。
実数係数のn次方程式が虚数解 p+gi をもつならば、
それと共役な複素数p-gi もこの方程式の解である。
3次方程式の解と係数の関係 (p.95 参照)を利用してもよい。
解答
I2+iが解であるから (2+i)³+a(2+i)³+b(2+i)+10=0 ◄(2+1)³
整理すると
(3a+26+12)+(a+b+11)i=0
a b は実数であるから, 3a+25+12, 4a+6+11 も実数で
3a+25+12=0, 4a+6+11=0
これを解いて a=-2.6=-3
このとき, 方程式は
左辺を因数分解すると
これを解いて
したがって、他の解は
x-2x²-3x+10=0
(x+2)(x-4x+5)=0
x=-2.2±i
x=-2, 2-i
★別解1. 実数係数の3次方程式が虚数解x=2+i をもつから、
それと共役な複素数 2-iもこの方程式の解になる。
よって、x+ax+bx+10は
(x-(2+i)Hx-(2—i))
このとき、 方程式は
したがって、他の解は
******
すなわちょ^-4x+5で割り切れる。
右の割り算において、(余り)=0 とすると
4a+b+11=0, -54-10-0
これを解くと a=-2, b=-3
=2³+3-2²i+3-2i³+i²³
(2+1)=2+2-2i+i²
(x-4x+5)(x+2)=0
x=2-i, -2
左辺にx=-2 を代入
すると0になるから、
左辺はx+2を因数に
もつ。
人を利用。
x+(a+4)
¹-4x+5)x² +ax³+
bx+10
*-4x²+
5x
(a+1)x³+ (6-5)x+10
(a+4)x²-4(+4)x+5(a+4)
(4a+b+11)x-54-10
<商x+(a+4) にa=-2を
代入すると x+2
冗はコードも角
