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日前 1983次関数のグラフに引ける機械の本数 ○○する。
y=x-9x415x-7 に対して、軸上の点)から相異なる。
本の接線を引くことができるように,実数aの値の範囲を定めよ。 [日本歯大 ]
CHARTO
解答
246
OLUTION
3次関数のグラフの接線
接点が異なると, 接線が異なる
したがって (接点の個数)=(接線の本数) が成立する。
上の点(t, ピー9t+15t-7) における接線が点A(0, α) を通る→ 接線の方
程式に (0, α) を代入して g (t)=α の形にする 曲線 y=g(t) は固定し,直
線y=a を動かし, 曲線と直線の共有点について調べる。・・・・・・!
y=x-9x2+15x-7 から
y'=3x²-18x+15
曲線上の点(t, ピー9t2+15t-7)における接線の方程式は
y-(1-9t2+15t-7)=(3t²-18t+15)(x-t)
すなわちy=(3²-18t+15)x-2t3+9t2-7
この直線が点A(0, α)を通るとき
-21³+91²-7=a
①
3次関数のグラフでは、 接点が異なると接線も異なる。
ゆえに,t の3次方程式 ① が異なる3つの実数解をもつとき,
点Aから曲線に3本の接線が引ける。
ここで,g(t)=-2t3+962-7 とすると
g'(t)=-6f2+18t
=-6t(t-3)
g (t) の増減表は,次のようになる。
3
+ 0
t
g'(t)
g(t)
0
0
|極小
-7
......
極大
20
y
20
0
3
y=g(t)|
y=20
y=a
J-7
基本 175, 194
よって, y=g(t) のグラフは右の図のようになる。
① の異なる実数解の個数,すなわち y=g(t) のグラフと直線
y=aとの共有点の個数が3となるようなαの値の範囲は
-7<a<20
別解 解答と5行目ま
この直線が点A(0,
263-912+
3次関数のグラフ
ゆえに,tの3次
き,点Aから曲線
ここで, h(t)=2t
h'(t)=6
h (t) の増減表は仁
y-f(t)=f'(r)(x-t)
この断り書きは重要。
◆g (t) = α の実数解の個数
↓
y=g(t), y=a の共有
点の個数
② の異なる実数
軸との共有点が
なるときである
よって 求める
y=f(x) 上の接点の個数
↓
y=f(x)に引ける接線
の本数
t
h' (t)
h(t)
(INFORMATIC
前ページでも角
inf. y=f(x) に引ける接
線の本数は
720のとき2本
a<-720 <a のとき
1本である。
[証明 3次
と仮定する
ナ
は, x=α
の形で等
ところが
よって,
注意 4次
で接点
また、平
ようなと
PRACTIC
kは定
