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151
3
3章
10 2次関数の最大・最小と決定
という、
ると、
意。
重要 90 2変数関数の最大・最小 (2)
(1x, y の関数P=x2+3y2+4x-6y+2の最小値を求めよ。
00000
(2) x, y の関数 Q=x²-2xy+2y2-2y+4x+6の最小値を求めよ。≧I-((s)
,(1),(2), 最小値をとるときのx,yの値も示せ。
針
[(2) 類 摂南大]
基本 79
(1) 特に条件が示されていないから,x,yは互いに関係なく値をとる変数である。
このようなときは,次のように考えるとよい。
①xyのうちの一方の文字(ここではyとする)を定数と考えて,Pをまずx
の2次式とみる。そして, P を 基本形 α(x-b)+αに変形。
②残ったg(yの2次式) も、基本形 b(y-r) '+s に変形。
えておく
③3
X=
を消去す
くるので、
事が面倒。
P=ax2+ by '+s (a>0,b>0, sは定数) の形。
→Pは X=Y = 0 のとき最小値s をとる。
(2)xyの項があるが, 方針は (1) と同じ。 Q=a{x-(by+c)}'+d(y-r)'+s の形に変
形。
CHART 条件式のない2変数関数一方の文字を定数とみて処理
(1) P=x2+4x+3y2-6y+2
解答手=(x+2)-22+3y-6y+2
=(x+2)'+3(y-1)^-3.12-2
=(x+2)+3(y-1)-5
2+3のゲー
まず, xについて基本形に。
次に, yについて基本形に。
xの変
x, yは実数であるから
式を解く。
→頂点で
(x+2)≥0, (y-1)2≥0
1,1)の
●もある。
たときの
+8 (05
よって, Pは x+2=0, y-1=0のとき最小となる。
ゆえに x=-2,y=1のとき最小値-5
(2)Q=x²-2xy+2y2-2y+4x+6
=x2-2(y-2)x+2y2-2y+6
={x-(y-2)}'-(y-2)^+2y-2y+6
=(x-y+2)+y2+2y+2
=(x-y+2)2+(y+1)^-12+2
=(x-y+2)+(y+1)'+1
<P=aX2+6Y2+s の形。
(実数) 20
x+2=0, y-1=0を解く
と
x=-2, y=1
x²+x+の形に。
まず, xについて基本形に。
-(-)
次について基本形に。
<Q=ax2+by2+s の形。
(1-x)
x, yは実数であるから かつ
7(1-4
(x-y+2)20,(y+1)^≧0
(実数) 20
よって,Q は x-y+2=0 y+1=0のとき最小とな
る。x-y+2=0, y+1=0を解くとx=-3,y=-1
x==
= y=-1のとき最小値1
最小値をとる x,yの値は,
連立方程式
の解。
かつ
練習 (1) x,yの関数P=2x2+y-4x+10y-2の最小値を求めよ。
=x6xy+10y²-2x+2y+2の最小値を求めよ。
③902)
開
ar re
