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411 パラメタを含む直線の通過範囲(1)
実数tが t≧0 を動くとき, 直線:y=tr-t2+1 が通り得る範囲Dを図
示せよ。
精講
t=0, ½, 1, 2, 7
Dを完全に捉えることは不可能です。 そこで, 409 と同様に,発想の転換をし
して座標平面上の点 (X,Y) がDに属する条件を考えます。 たとえば, 点(4,4),
(15),(5,7 (23) はDに属するかを調べてみましょう。
が (44) を通る条件は、その方程式に(z,y)=(4,4)を代入した式
. (t-1)(t-3)=0
4=4t-t2+1
が成り立つことです。 ≧0 において⑦を満たすtの値として1,3がとれるの
で, , が (44) を通ることになり, (4,4)はDに属します。
同様に,(1,-5),5723) を通る条件はそれぞれ
-5=t-f+1
... (t-3)(t+2)=0 •••••• イ
. (t+2)(t+3)=0...... ウ
7=-5t-t2+1
3=2t-t+1
…. 2-2t+2=0
が成り立つことです。 t≧0 においてイを満たす値として t=3 をとれるので,
が (1, -5) を通るこ
て⑦を満たすもの値はないので, (-5, 7) はDに属しません。 また, エを満た
す実数tがないので, (2,3) もDに属しません。
以上のことから,
・などに対応する直線を何本かいても領域
とわかるはずです。
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点(X,Y) がDに属する条件は Y=tXf' +1 を満たすtが t≧0 に
少なくとも1つあることである。
解答|
(1, -5) はDに属します。 一方, t≧0におい
とになり,
点(X,Y) がDに属するためのX, Y
の条件を調べる。
(X,Y)ED
⇒ t≧0.① のあるtに対してが
(X,Y) を通る, すなわち,
Y=tX 2+1 ･･････ ② が成り立つ
◆最初から, (x,y)ED とし
てもよい。
409 注 1° 参照。
tの2次方程式 2-Xt+Y-10 ......②'
が①の範囲に少なくとも1つの解をもつ
さらに,(*)より,②'において,
[(i) t<0,t>0 に解が1つずつある
(i) t=0 が解である
() t>0 に2つの解がある
のいずれかが成り立つためのX,Yの条件を調べる
とよい
f(t)=t-Xt+Y-1
=(1-12/1)-1/2x+1-1
とおいて,u=f(t) のグラフを考えると,
(i)または(ii)
f(0)≦0
.. Y≤1
であり,
頂点の座標: (1/2) 20
MO
D:
軸の位置 : 1>
->0
区間の端点での値: f(0)>0
A Y / X°+1, X> 0 かつ Y>1
である。 したがって,
y≦1 または
mys/max2+1, x>0 かつy>1"
・1,
であり、右図の斜線部分 (境界を含む) である。
◆このような「見方の転換」
がキーポイントである。
重解の場合も2つの解と考
える｡
(i) f(0) < 0.
(i)
f(0)=0
である。
頂点の座標 (判別式), 軸
の位置, 区間の端点での値
を調べる。 101 参照。
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参考
hiy=t+1はtの値によらずに放物線C:y=212+1に接してい
て, その接点が P(2t, t2+1) であることを見抜くことができれば, 20 におい
してPC上のx≧0の部分を動くので, Pの動きに伴ってんがどのように変
化するかを観察することによって同様の結果を得ることもできる。
第4章 図形と方程式 175
第4章
