練習問題 9
次の方程式を満たす整数x,yをすべて求めよ.
(1) (x-2)(y-2)=3 (2) 3xy+x+6y-2=0
精講 約数に注目する」手法を練習してみましょう.その場合
(式) × (式)=整数
という形を作ることがポイントになります. (1) はすでにその形になっています
が,(2)はうまく工夫して上の形を作り出す必要があります.
解答
(1) x-2, y-2は3の約数であるから
(x-2, y-2)=(1,3),(3,1),(-1,-3), (-3,-1)
これを解いて
(x, y)=(3, 5), (5, 3), (1, -1), (-1, 1)
(2) 3xy+x+6y-2=0
(8x (3y+1)+6y-2=0−ェでくくる
負の約数も
忘れないように
x (3y+1)+2(3y+1)-4=0 13y+1 がうまく現れるように式を変形
(zx+2)(3y+1)=4 (式)×(式) 整数の形
(x+2, 3y+1)=(1,4), (2,2), (4,1),
(−1, -4), (-2,-2), (-4, -1)
さらに, 3y+1 が 「3で割って1余る数」 であることに注意すると
(x+2, 3y+1)=(1,4), (4,1), (-2,-2)
これを解いて,
(x, y)=(-1, 1), (2, 0), (-4, -1)