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要 例題 172
直線の周りの回転体の体積
曲線 y=-√
-√√2x²+x. ① と直線 y=-x
00000
②とで囲まれる部分を,
直線②の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。 〔類 大阪電通大]
基本 165,166
CHART & THINKING
回転体の体積
断面積をつかむ ②を基準にしない
一般に回転させる軸に垂直な断面積を考えないと
円にならない
といけない
回転軸は直線②であるから,今までのように座標軸に対して垂
直な平面で立体を切った断面ではだめ。 どのような平面で立体
を切ると断面積の計算がしやすいだろうか?
YA
/2
X
→直線② 新しく軸として, t軸に垂直な平面で切断したと
きの断面積を考えるとよい。
wa
解答を通
曲線 ①と直線②の交点のx座標は,
-√2x2+x=-x の解であるから,
x=0,√2
これを解いて
①上に点P(x, -√2x2+x)
(0≦x≦√√2) をとり, Pから直線 ②
に垂線PH を引く。
PH=h, OH=t とする。
このときん=
YA
P(x, -√2x2+x)
②
√2
_|x+(-√2x2+x)|=|-x2+√2x1
V12+12
また,OPHは直角三角形であるから, OH2=OP2-PH2
12={x2+(-√2x2+x)2}(x-2√2x3+2x2)
NA
x
inf. 体積を求める手順
図より Shedt が体積であ
るから, 直線②上の積分
区間 [α, b] を求め、 次にん,
dt を x で表すことを考え
る。
6章
19
点(x1,y) と直線
ax+by+c=0 との距離
積
dは
=x4
JA+B
の座標をつくったと考える。
d=
_ax+by+cl
√a²+b²
t≧0 であるから t=x2 新しく
んはと
E
t
0 → 2
放物線品とのキョリ
よって dt=2xdx
iP
を求めると
tとxの対応は右のようになるから
V=π Sh²dt =π S² (= x² + √2x)²+2x dx
=2zS(x-2√/2x'+2x)dx
XC 20√2
26
= 2π [ x ² _ _ 2√2 x ³ +
=2
5
++2)13
4 16
π
5
15
Pを文字で
標を表して
A(√2-√2) とするとか
OA=2 から, t軸の積動いても
分区間は [0, 2], 断面積成り立
関係
は hである。
このについての積分とをで
を置換積分の要領でx表す。
の積分に直して計算す
る。
